第2课时对数的运算[目标]1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．[重点]对数的运算性质的推导与应用．[难点]对数的运算性质的推导和换底公式的应用.知识点一对数的运算性质[填一填]如果a>0，且a≠1，M>0，N>0.那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)loga＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．[答一答]1．若M，N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？提示：不一定，当M>0，N>0时成立，当M<0，N<0时不成立．2．你能推导loga(MN)＝logaM＋logaN与loga＝logaM－logaN(M，N>0，a>0且a≠1)两个公式吗？提示：①设M＝am，N＝an，则MN＝am＋n.由对数的定义可得logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n.这样，我们可得loga(MN)＝logaM＋logaN.②同样地，设M＝am，N＝an，则＝am－n.由对数定义可得logaM＝m，logaN＝n，loga＝m－n，即loga＝logaM－logaN.知识点二换底公式[填一填]换底公式常见的推论：(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝logab，特别logab＝；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.[答一答]3．换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数．4．若log34·log48·log8m＝log416，求m的值．提示： log34·log48·log8m＝log416，∴··＝log442＝2，化简得lgm＝2lg3＝lg9，∴m＝9.类型一对数运算性质的应用[例1]计算下列各式：(1)lg－lg＋lg；(2)；(3)lg25＋lg8＋lg5lg20＋(lg2)2.[分析](1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．[解](1)(方法1)原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.(方法2)原式＝lg－lg4＋lg(7)＝lg＝lg(×)＝lg＝.(2)原式＝＝＝＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：1把复杂的真数化简；2正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则，将它们化为对数的和、差、积、商，然后再化简；3逆用公式：对式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.[变式训练1](1)计算：log5＝；log2(32×42)＝9.(2)计算：lg8＋lg125＝3；lg－lg25＝－2；2log36－log34＝2.类型二换底公式的应用[例2](1)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)；(2)已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.[解](1)原式＝＝＝·＝.(2)由18b＝5，得log185＝b，∴log3645＝＝＝＝＝.利用换底公式可以统一“底”，以方便运算.在用换底公式时，应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：logab·logba＝1.[变式训练2]计算下列各式：(1)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．(2)×log6432.解：(1)方法1：原式＝(log253＋＋)(log52＋＋)＝＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.方法2：原式＝＝＝＝13.(2)方法1：原式＝÷log23×＝÷log23×＝.方法2：原式＝÷×＝××＝.类型三与对数方程有关的问题[例3](1)若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，求的值；(2)解方程：log＋log2(x＋2)＝3.[解](1)由题可知lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0.所以2－－2＝0.解得＝2或＝－1.又因为x>0，y>0，x－y>0.所以＝2.(2)由方程可得log2x＋log2(x＋2)＝log28.所以log2[x(x＋2)]＝log28，即x(x＋2)＝8.解得x1＝2，x2＝－4.因为x>0，x＋2>0，所以x＝2.对数方程问题的求解策略：利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式，由真数相等求解方程，转化过程中注意真数大于零这一条件，防止增根.[变式训练3](1)方程lgx＋lg(x－1)＝1－lg5的根是(B)A．－1B．2C．1或2D．－1或2(2)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则log的值为4.解析：(1)由真数大于0，易得x>1，原式可化为lgx(x－1)＝lg2⇒x(x－1)＝2⇒x2－x－2＝0⇒x1＝2，x2＝－1(舍)．(2)因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以lgxy＝lg(x－2y)2，所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x...
