2．2.2双曲线的简单几何性质预习课本P49～53，思考并完成以下问题1．双曲线有哪些几何性质？2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈y≤－a或y≥a，x∈对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长：离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±x2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝.[点睛]对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线－＝1的焦点在y轴上()(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔()(3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条()答案：(1)×(2)√(3)×2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是()A．(4,0)，(0,1)B．(－4,0)，(4,0)C．(0,1)，(0，－1)D．(－4,0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.－＝1B.－＝1或－＝1C.－＝1D.－＝1或－＝1答案：B4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.答案：5双曲线的几何性质[典例]求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[解]双曲线的方程化为标准形式是－＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．[注意]求性质时一定要注意焦点的位置．[活学活用]1．已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是()A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等解析：选C双曲线－＝1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线－＝1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线－＝1的离心率e1＝＝，而双曲线－＝1的离心率e2＝＝，因此可排除选项D；易得C正确．2．(2017·北京高考)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以e＝＝＝，解得m＝2.答案：2由双曲线的几何性质求标准方程[典例](1)(2017·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1(2)过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．[解析](1)由e＝知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y＝±x，故由P(0,4)，知左焦点F的坐标为(－4,0)，所以c＝4，则a2＝b2＝＝8.故双曲线的方程为－＝1.(2)法一：当焦点在x轴上时，由于＝.故可设方程为－＝1，代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；当焦点在y轴上时，可知＝，故可设方程为－＝1，代入点(2，－2)得a2＝2.所以所求双曲线方程为－＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，即－＝1.[答案](1)B(2)－＝1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．[活学活用]求适合下列条件的双曲线的标准方程...
