一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意]柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有＋≥.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式[例1]已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2.[思路点拨]可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin2θ＋cos2θ”，然后用柯西不等式证明．[证明] ＋＝(cos2θ＋sin2θ)≥2＝(a＋b)2，∴(a＋b)2≤＋.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a1，a2，b1，b2为正实数．求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.证明： (a1b1＋a2b2)＝[()2＋()2]≥2＝(a1＋a2)2.∴原不等式成立．2．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．证明：由柯西不等式，得·≥a＋b，即·≥a＋b.同理：·≥b＋c，·≥a＋c，将上面三个同向不等式相加得：≥2(a＋b＋c)∴＋＋≥(a＋b＋c)．3．设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：＋≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2]≥2＝(a＋b)2＝4.∴＋≥＝2.∴原不等式成立.利用二维形式的柯西不等式求最值[例2]求函数y＝3sinα＋4cosα的最大值．[思路点拨]函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解]由柯西不等式得(3sinα＋4cosα)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2α)＝25，∴3sinα＋4cosα≤5.当且仅当＝>0即sinα＝，cosα＝时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值的注意点(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．解： 2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝，当且仅当x＝y＝时取等号．∴2x＋y的最大值为.5．求函数y＝＋的最小值．解：y＝＋，y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2×≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2×[(x－1)(3－x)＋]＝[(x－1)＋(3－x)]2＋(7＋2)＝11＋2.当且仅当＝，即x＝时等号成立．此时ymin＝＝＋1.1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的大小关系是()A．P≤QB．P＜QC．P≥QD．P＞Q解析：选A设m＝(x，y)，n＝(，)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝·＝·＝，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是()A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D．(－，)解析：选A(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2， a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－2≤a－b≤2.3．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是()A.B.C.D.解析：选B(2x2＋3y2)[()2＋()2]≥(x＋y)2＝[(x＋y)]2＝6，当且仅当x＝，y＝时取等号，即2x2＋3y2≥.故2x2＋3y2的最小值为.4．函数y＝＋2的最大值是()A.B.C．3D．5解析：选B根据柯西不等...
