一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意]柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ
3．二维形式的三角不等式(1)定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有＋≥
事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式[例1]已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2
[思路点拨]可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin2θ＋cos2θ”，然后用柯西不等式证明．[证明] ＋＝(cos2θ＋sin2θ)≥2＝(a＋b)2，∴(a＋b)2≤＋
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a1，a2，b1，b2为正实数．求证：(a1b1＋
