立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直课题立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直备注三维目标掌握利用向量证明平行和垂直的基本原理培养学生数形结合的思想重点掌握利用向量证明平行和垂直的基本原理难点方法的优化辨析(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)(2)平面的单位法向量是唯一确定的．(×)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．(√)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(√)(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．(×)(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(×)考点自测1．下列各组向量中不平行的是()A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)3．已知AB→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．4．若A(0,2，198)，B(1，－1，58)，C(－2,1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________知1．直线的方向向量与平面的法向量的确定2．用向量证明空间中的平行关系1识梳理3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.例题选讲题型一证明平行问题例1如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.变式训练如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.变式训练如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.2例3如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．变式训练如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．高考链接如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E－ACD的体积．每日一练后记3
