6.1.3基本初等函数的导数学习目标核心素养1.理解导函数的概念．(难点)2．能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)1.通过导函数概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x及y＝4x的图像，并根据导数定义，求它们的导数．问题1：从图像上看，它们的导数分别表示什么？问题2：函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？1．导数的概念一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，称其为函数y＝f(x)的导函数．记作f′(x)(或y′，y′x)，即f′(x)＝y′＝y′x＝lim.思考1：f′(x0)与f′(x)相同吗？[提示]不同．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值．2．导数公式表①C′＝0.②(xα)′＝αxα－1.③(ax)′＝axln_a.④(logax)′＝.⑤(sinx)′＝cos_x.⑥(cosx)′＝－sin_x.思考2：函数y＝ex及y＝lnx的导数分别是多少？[提示](ex)′＝ex，(lnx)′＝.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．()(2)若y＝，则y′＝×2＝1.()(3)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．()(4)若y＝，则y′＝.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．给出下列命题：①y＝ln2，则y′＝；②y＝，则y′＝－；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4C[对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.]3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于()A.B．10C．10ln10D.C[ f′(x)＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.]4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线方程为________．y＝e2(x－1)[ y′＝ex，∴y′|x＝2＝e2，∴在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2(x－1)．]利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.[思路点拨]首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．[解](1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．[跟进训练]1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,则f′(x)－g′(x)＝__________.3x2－[ f′(x)＝3x2，g′(x)＝，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.]利用公式求函数在某点处的导数【例2】质点的运动方程是s＝sint.(1)求质点在t＝时的速度；(2)求质点运动的加速度．[思路点拨](1)先求s′(t)，再求s′.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．[解](1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴v＝cos＝.即质点在t＝时的速度为.(2) v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[跟进训练]2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在处的导数．[解](1) f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－＝－，∴f′(1)＝－＝－.(2) f′(x)＝－sinx，∴f′＝－sin＝－.利用导数公式求切线方程[探究问题]1．如何求y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程？[提示]先计算f′(x)，再求f′(x0)，最后利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)求解便可．2．若已知函数y＝f(x)的切线方程y＝kx＋b，如何求切点坐标(x0，y0)?[提示]利用求解．【例3】已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，过两曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形的面积．[思路点拨]先求交点→再分别求切线方程→计算三角形的面积．[解]由得即...
