高中数学 第5章 数列 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质教案 新人教B版选择性必修第三册-新人教B版高二选择性必修第三册数学教案VIP免费

第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.理解等比中项的概念．(易错点)2.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)1.通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理的素养.2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升数学运算素养.在等差数列{an}中，通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.问题：在等比数列中有无类似的性质？1．等比中项定义如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项关系式G2＝xy结论在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的等比中项思考：G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？[提示]不是．若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立．2．等比数列的性质在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq.(1)特别地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝a.(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….拓展：(1)“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.(2)两个等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任意两个实数都有等比中项．()(2)在等比数列{an}中，a2·a8＝a10.()(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．()(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于()A．±B．－C.D．±C[在等比数列中，a＝a1·a5，所以a5＝＝.]3．(教材P34练习AT3改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32C[ {an}是等比数列，∴a2·a6＝a＝16.]4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝________.25[ {an}是等比数列，∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12，∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25.]等比中项的应用【例1】(1)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9(2)在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.(1)B(2)[(1)因为b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.(2)由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，∴＝＝.]由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝ab⇒G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列⇔G2＝abab≠0.[跟进训练]1．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．[解]设该等比数列的公比为q，首项为a1， ∴ 1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)．上述两式相除，得q(1－q)＝⇒q＝.∴a1＝＝＝96.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·10＝9.∴a5，a7的等比中项是±3.等比数列性质的应用【例2】(1)已知数列{an}为等比数列．若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5＝________.(2)在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．(1)6(2)64[(1) a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a＋2a3a5＋a＝36，∴(a3＋a5)2＝36，又 an>0，∴a3＋a5＝6.(2)设a1＝2，a5＝8，∴a3＝＝4，∴a2·a3·a4＝a·a3＝a＝43＝64.]在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦.通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.[跟进训练]2．在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.[解]因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.联立可解...