5．2.2等差数列的前n项和学习目标核心素养1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)3．能灵活应用等差数列前n项和的性质解题．(难点、易错点)1.借助等差数列前n项和公式的推导，培养数据分析的素养．2．通过等差数列前n项和公式的学习及应用，提升数学运算的素养.某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？原来有多少根钢管？1．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋d思考：等差数列{an}的公差与前n项和Sn的最高项系数存在怎样的关系？[提示]2倍关系．由Sn＝n2＋n可知，存在2倍关系．拓展：等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．2．等差数列前n项和Sn的性质(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．()(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则也是等差数列．()(3)数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}一定不是等差数列．()(4)等差数列的前n项和，等于其首项和第n项的等差中项的n倍．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于()A．nB．n(n＋1)C．n(n－1)D.D[Sn＝na1＋d＝n＋＝＝，故选D.]3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝()A．10B．12C．20D．24D[由S10＝＝120，得a1＋a10＝24.]4．已知{an}是等差数列，a1＝10，前10项和S10＝70，则其公差d＝________.－[S10＝10a1＋d＝70，又a1＝10，所以d＝－.]等差数列Sn中基本量的计算【例1】在等差数列{an}中．(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；(3)已知a16＝3，求S31.[解](1) Sn＝na1＋n(n－1)d，∴解方程组得a1＝－8，d＝4.(2) a6＝10，S5＝5，∴解方程组得a1＝－5，d＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S8＝＝44.(3)S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93.a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.[跟进训练]1．在等差数列{an}中．(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.[解](1)由题意，得Sn＝＝＝－5，解得n＝15.又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又 a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.(3)由得解方程组得或等差数列前n项和的性质【例2】(1)已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，则S3m＝________；(2)已知等差数列{an}中，若a1011＝1，则S2021＝________；(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.(1)210(2)2021(3)[(1)法一：设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有：②－①，得ma1＋d＝70，所以S3m＝3ma1＋d＝3＝3×70＝210.法二：Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，所以30、70、S3m－100成等差数列．所以2×70＝30＋S3m－100.所以S3m＝210.法三：在等差数列{an}中，因为Sn＝na1＋n(n－1)d，所以＝a1＋(n－1).即数列构成首项为a1，公差为的等差数列．依题中条件知、、成等差数列，所以2·＝＋.所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.(2)法一： a1011＝a1＋1010d＝1，∴S2021＝2021a1＋d＝2021(a1＋1010d)＝2021.法二： a1011＝，∴S2021＝×2021＝2021a1011＝2021.(3)法一：＝＝＝＝＝.法二： ＝＝，∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝...
