高中数学 第5章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2课时）两角和与差的正弦、余弦公式讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP免费

第2课时两角和与差的正弦、余弦公式学习目标核心素养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2.通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R2.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈R3.重要结论－辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝，sinθ＝.1．cos57°cos3°－sin57°sin3°的值为()A．0B.C.D．cos54°B[原式＝cos(57°＋3°)＝cos60°＝.]2．sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是()A．－B．－C.D.B[ sin245°＝sin(155°＋90°)＝cos155°，sin125°＝sin(90°＋35°)＝cos35°，∴原式＝cos155°cos35°＋sin155°sin35°＝cos(155°－35°)＝cos120°＝－.]3．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝______.－[ cosα＝－，α是第三象限的角，∴sinα＝－＝－，1∴sin＝sinα－cosα＝×－×＝－.],给角求值问题【例1】(1)cos70°sin50°－cos200°sin40°的值为()A．－B．－C.D.(2)若θ是第二象限角且sinθ＝，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan10°－).(1)D(2)－[(1) cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°＝－sin70°，sin40°＝cos50°，∴原式＝cos70°sin50°－(－sin70°)cos50°＝sin(50°＋70°)＝sin120°＝.(2) θ是第二象限角且sinθ＝，∴cosθ＝－＝－，∴cos(θ＋60°)＝cosθ－sinθ＝×－×＝－.](3)[解]原式＝(tan10°－tan60°)＝＝·＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．[解](1)原式＝＝＝＝sin30°＝.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cosα＝＋－cosα＝0.给值求值、求角问题2【例2】(1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cos∠POQ＝________.(2)已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨](1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP和∠xOQ的正弦、余弦值，再依据∠POQ＝∠xOP＋∠xOQ及两角和的余弦公式求值．(2)先求sinα，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cosβ再求β.(1)[由题意可得，cos∠xOP＝，所以sin∠xOP＝.再根据cos∠xOQ＝，可得sin∠xOQ＝－，所以cos∠POQ＝cos(∠xOP＋∠xOQ)＝cos∠xOP·cos∠xOQ－sin∠xOP·sin∠xOQ＝×－×＝.](2)[解]①因为α，β∈，所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜，所以sinα＝＝，cos(α－β)＝＝，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝×－×＝.②cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，又因为β∈，所以β＝.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1当条件中有两角时，一般...