3.2数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(略)3.3二项式定理与杨辉三角第1课时二项式定理学习目标核心素养1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式．(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养.2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养.三个箱子均装着标有a，b字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子摸出一个球，共摸出3个球，有哪些可能结果？每一种结果有多少种情形？问题：类比上述结果你能联想出(a＋b)3展开式的形式吗？二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)称为二项式定理二项式系数各项系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Can－rbr是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)二项展开式Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？[提示]二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式的第k＋1项是否相同？[提示]不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(x＋1)n的展开式共11项，则n等于()A．9B．10C．11D．12B[由n＋1＝11，可知n＝10.]3．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数是()A．CB．C(－2)5C．CD．C(－2)6C[由题意可知第6项的二项式系数为C.]4．(x＋2)6的展开式中x3的系数是________．160[法一：设含x3的项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cx6－r2r，令6－r＝3，则r＝3.故x3的系数为C·23＝160.法二：(x＋2)6表示6个括号相乘，要得到含x3的项，只需选出3个括号出x，另三个括号出2即可，即C·x3·23＝160x3.]二项式定理的正用、逆用【例1】(1)用二项式定理展开；(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC.[思路点拨](1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[解](1)＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C＝32x5－120x2＋－＋－.(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[跟进训练]1．(1)求的展开式；(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.[解](1)法一：＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)＋C＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.二项式系数与项的系数问题【例2】(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)(教材P33习题33AT2改编)求的展开式中x3的系数．[思路点拨]利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．[解](1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·＝(－1)rC·26－r·x，∴T6＝－12x.∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为C·(－1)·2＝－12.(2)Tr＋1＝Cx9－r·＝(－1)r·C·x9－2r，令9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.1．二项式系数都是组合数C(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项...
