第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学习目标核心素养1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养．2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.大家知道，直线与圆有三种位置关系，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，则d＞R时⇔直线与圆相离；d＝R时⇔直线与圆相切；d＜R时⇔直线与圆相交．那么直线与椭圆有几种位置关系呢？又如何来判定呢？1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程．位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0位置关系解的个数Δ的取值相切一解Δ＝0相离无解Δ<0思考：过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？[提示]根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点P(2,1)在椭圆＋＝1的内部．()(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切．()(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交．()(4)长轴是椭圆中最长的弦．()[提示](1)×(2)√(3)√(4)√2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()A．相切B．相交C．相离D．不确定B[直线方程y＝kx－k＋1可化为y－1＝k(x－1)，知直线过定点(1,1)，因＋＜1，∴点(1,1)在椭圆内，故直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．]3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为()A．2B．±C．±2D．±2C[由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.∴m＝±2.]4．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．(－，)[ 点A在椭圆内部，∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜.]直线与椭圆的位置关系【例1】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[思路探究]→→→得出结论[解]直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0①.方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．[跟进训练]1．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围．[解]因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在椭圆＋＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以≤1，即m≥1.当m＝5时，＋＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．因此，m的取值范围为[1,5)∪(5，＋∞)．弦长和中点弦问题[探究问题]1．求弦长常用的方法有哪几种？[提示](1)两点间距离公式，需要先通过解方程组将两点坐标求出来．(2)弦长公式，不需要求出交点坐标，采用根与系数的关系整体代换即可．2．“点差法”的核心是什么？[提示]假设弦l中点为(x0，y0),弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，由两式作差得＋＝0，即kl＝－.【例2】过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．(1)求此弦所在的直线方程；(2)求此弦长．[思路探究](1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．法二：点差法．(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利...
