3.2.2双曲线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.(1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等性质．(2)用多媒体展示几组焦点在x轴、y轴上开口大小各不相同的双曲线，观察双曲线形状的美．(3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢？1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝>1渐近线y＝±xy＝±x思考：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？[提示]渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝.3．直线与双曲线的位置关系将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.Δ的取值位置关系交点个数k＝±时相交只有一个交点k≠±且Δ＞0有两个交点k≠±且Δ＝0相切只有一个交点k≠±且Δ＜0相离没有公共点1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线－＝1的焦点在y轴上．()(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．()(3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．()[提示](1)×(2)√(3)×2．若等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1B[由条件知，等轴双曲线焦点在x轴上，可设方程为－＝1，a2＋a2＝62，解得a2＝18，故方程为－＝1.]3．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．2[由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝，∴e＝2.]4．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.5[ 双曲线的标准方程为－＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]根据双曲线方程研究几何性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[解]双曲线的方程化为标准形式是－＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.1．把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？[解]把方程9y2－4x2＝36化为标准方程为－＝1，这里a2＝4，b2＝9，c2＝13.焦点在y轴上．所以顶点坐标为(0,2)，(0，－2)，焦点坐标为(0，)，(0，－)，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝6，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.2．把本例中方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？[解]方程4x2－9y2＝－4可化为标准方程－x2＝1，焦点在y轴上，这里a2＝，b2＝1，c2＝＋1＝.所以顶点坐标为，.焦点坐标为，.实轴长2a＝，虚轴长2b＝2.离心率e＝＝.渐近线方程为y＝±x＝±x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．由几何性质求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；(3)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．[思路探究]由几何性质求双曲线方程，多是根据题设信息寻找a，b，c，e之间的关系，并通过构造方程获得问题的解(解出a，b或a2，b2的值)．[解](1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－...
