2.1曲线与方程学习目标核心素养1．了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系．2．理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3．掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)1．通过曲线与方程的概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．2．借助曲线方程的求法，培养学生的逻辑推理素养及直观想象素养．1．曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？[提示](1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)充要条件是f(x0，y0)＝0．2．求曲线方程的步骤1．下列结论正确的个数为()(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；(2)到x轴距离为3的直线方程为y＝－3；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0．A．1B．2C．3D．4A[(1)满足曲线方程的定义，∴结论正确．(2)到x轴距离为3的直线方程还有一个y＝3，∴结论错误．(3) 到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1，∴结论错误．(4) 中线AD是一条线段，而不是直线，∴中线AD的方程为x＝0(－3≤y≤0)，∴结论错误．]2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上B[将点M的坐标代入直线l和曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．]3．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是()A．一个点B．两条互相平行的直线C．两条互相垂直的直线D．两条相交但不垂直的直线D[ 4x2－y2＋4x＋2y＝0，∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，∴2x＋1＝±(y－1)，∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．]4．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝3，则点P的轨迹方程为________．x－2y＋3＝0[由题意OP＝(x，y)，OA＝(－1,2)，则OP·OA＝－x＋2y．由OP·OA＝3，得－x＋2y＝3，即x－2y＋3＝0．]曲线与方程的概念【例1】(1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；③第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．(1)B[根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错．](2)解：①过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5．因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5．③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0．1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．[跟进训练]1．(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么()A．曲线C上的点的坐标都...
