11.3空间中的平行关系11.3.1平行直线与异面直线学习目标核心素养1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质．(重点)2．理解并掌握等角定理，并会应用．(难点)3．理解异面直线的定义，会画两条异面直线．(一般)4．了解空间四边形的定义．(一般)1.借助两直线平行的判定与性质，提升逻辑推理的核心素养．2．通过等角定理的学习，培养直观想象的核心素养.前面我们已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系：相交、平行、异面．在这里我们将继续学习判断空间中两直线位置关系的方法，熟悉空间平行关系的判定及性质．思考：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这是初中所学的两个结论，如果去掉“同一平面内”这个条件，在空间中这两个结论还成立吗？1．平行直线(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)平行线的传递性文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性．符号表述：⇒b∥c.2．等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？[提示]相等或互补．3．异面直线的判定与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．4．空间四边形1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．()(2)若a与b异面，b与c异面，则a与c异面．()(3)若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．()[答案](1)×(2)×(3)√2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B[因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]3．如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线()A．12对B．18对C．24对D．36对B[由基本事实易知共有18对．]4．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．相交[直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]空间两直线位置关系的判断【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面[(1)在正方体AC1中，因为A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C．(2)因为B∈平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，B∉B1C，又A1∉平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面．(3)因为D1D∩D1C＝D1，所以直线D1D与直线D1C相交．(4)由异面直线的判定可知AB与B1C异面．]判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)．[跟进训练]1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．相交或异面D[画出图形，得到结论．(1)(2)如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，应选D．]直线与直线平行的证明【例2】在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．[证明]因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥AB且EF＝(AB＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB．因为G，H分别为AD′，BC′的中点，所以GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形．证明两条直线平行的三种方法(1)一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点．(2)二是...
