2.1.5正、余弦定理的综合应用知识梳理1.正弦定理：，其中为外接圆的半径。利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：(1)余弦定理：；；.在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.（2）余弦定理的推论：；；.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3.三角形面积公式：==4.三角形的性质：①.A+B+C=,,,②.在中,＞c,＜c;A＞B＞,A＞BcosA＜cosB,a＞bA＞B③.若为锐角，则＞,B+C＞,A+C＞;＞，＞，＋＞5.(1)若给出那么解的个数为：(A为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角1babaabaB1BACACABCB2一解两解一解若，则无解；（2）当A≥90若a>b,则一解若a≤b，则无解典例剖析题型一三角形多解情况的判断例1.根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求；（4），，，求；（5），，，求．解：（1） ，∴只能是锐角，因此仅有一解．（2） ，∴只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．（5）由于为锐角，又，即，∴无解．评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。题型二正、余弦定理在函数中的应用例2在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.2分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，在△ADB中，cosADB＝＝在△ADC中，cosADC＝＝又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.∴＝－解得，x＝2所以，BC边长为2.评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.备选题正、余弦定理的综合应用例3在△ABC中，已知，求△ABC的面积.解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，.故所求面积解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得故所求面积评析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.点击双基一.选择题：1.在ABC中，abB232245，，，则A为（）ABCD....60120603015030或或3解：aAbBAabBsinsinsinsin，32答案：A2.在CAaBbB中，若，则sincos（）ABCD....30456090解：由题意及正弦定理可得tanB1答案：B3.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形解：：长为6的边所对角最大，设它为则cos162536245180090答案A4.在ABC中，化简bCcBcoscos___________解：利用余弦定理，得原式babcabcacbaca22222222答案：a5.在ABC中，abAB126045，，，则a_______，b________解：aAbBaABbbbsinsinsinsinsinsin，604562又abab123612612624，，答案：3612612624，课外作业一、选择1.在ABC中，abcbc222，则A等于（）ABCD....604512030解：由余弦定理及已知可得cosA12答案：C2.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是（）A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定解：bsinC=20>c,无解答案：C3.在ABC中，bAaBcoscos，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解：由余弦定理...
