圆压轴题八大模型题（一）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型1弧中点的运用在⊙O中，点C是的中点，CE⊥AB于点E.（1）在图1中，你会发现这些结论吗？①AP＝CP＝FP；②CH＝AD；②AC2＝AP·AD＝CF·CB＝AE·AB.（2）在图2中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？【分析】(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：∠CAD＝∠B＝∠ACE;∠PCF＝∠PFC,所以AP＝CP＝FP.(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，＝＝,再由弧叠加得：＝,所以CH＝AD.(1)③由共边角相似易证：△ACE∽△ABC,△ACP∽△ADC,△ACF∽△BCA,进而得AC2＝AEAB;AC2＝APAD;AC2＝CFCB;(2)垂径定理的推论得：C0⊥AD,易证：Rt△ABC∽Rt△ACE∽Rt△CBE∽Rt△ACF∽Rt△BDF∽Rt△ACG∽Rt△CGF.此外还有Rt△APE∽Rt△AOG∽Rt△ABD∽Rt△CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。【典例】（2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．OHPFEDCBAABCDEFPGO（图1）（图2）【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到＝，再由＝得到＝＝，等弧所对的角相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得OC⊥BE，再由锐角三角函数得到边BH、OH的长度，由对应边成比例得BE∥CM，由∠MCO＝∠BHO＝90°证得结论。证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图， CD⊥AB，∴＝， ＝，∴＝，∴∠CBE＝∠GCB，∴CF＝BF；（2）连接OC交BE于H，如图， ＝，∴OC⊥BE，在Rt△OBH中，cos∠OBH＝＝，∴BH＝×6＝，OH＝＝， ＝＝，＝＝，∴＝，而∠HOB＝∠COM，∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM＝∠OHB＝90°，∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。【变式运用】1.（2018·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若＝，则＝．（）2.（2010·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分（图1-1）（图4）（图1-2）∠BAD和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD＝5，AE＝8，求值。（1）证明：在ABCD中， AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180° AE与DE平分∠BAD和∠ADC∴∠EAD＝∠BAD，∠EDA＝∠ADC，∴∠AED＝180°－（∠EAD＋∠EDA）＝180°－（∠BAD＋∠ADC）＝180°－（∠BAD＋∠ADC）＝180°－90°＝90°∴AE⊥DE（2）解：在ABCD中， AD∥BC∴∠EAD＝∠AEB，且∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，同理：DC＝EC＝5又 AB＝DC，∴AB＝BE＝DC＝EC＝5，∴BC＝AD＝10在Rt△AED中，由勾股定理可得：DE＝ ∠BAE＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90°∴△AFG∽△AED，∴3.（2012·泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；(2)若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长。（1）证明： AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴．又 C是的中点，∴，∴．∴∠ACP＝∠CAP．∴PA＝PC， AB是直径．∴∠ACB＝90°．∴∠PCQ＝90°﹣∠ACP，∠CQP＝90°﹣∠CAP，∴∠PCQ＝∠CQP．∴PC＝PQ．∴PA＝PQ，即P是AQ的中点；（2）解： ，∴∠CAQ＝∠ABC．又 ∠ACQ＝∠BCA，∴△CAQ∽△CBA．∴．又 AB＝10，∴AC＝6，BC＝8．根据直角三角...
