1998年第4期勘察科学技术地下水运动随机微分方程浅论潘宏雨(郑州工业贸易学校郑州市450007)(郑州大学王国成郑州市450052)提要该文探讨和介绍了地下水运动中几类常用的随机徽分方程模型与求解方法。如带有随机边界条件、随机力函数及含有随机系数的地下水运动模型;并将多孔介质中地下水运移近似看作布朗运动,引入伊藤随机积分研究地下水运动规律.关键词地下水运动随机徽分方程伊藤随机积分ABRIEFDISCUSSIONONTHESTOCHASTICDIFFERENTIALEQUATIONOFGROUNDWATERMOVEMENTPanHongyu(ZhengzhouCollegeofl耐ust叮andTrade)WangGuoc七eng(ZhengzhouUniversity)AbstractThispaperdiseussesandintrodueesseveralkindsofcommonlyusedmodelofstochastiedifferen-tialequationandthemethodofsolutioninthegroundwatermovement.FOrinstanee,thegroundwatermove-mentmodelswithstochastieboundaryeonditions,withstochastieforcefunetionsandeontainingstoehastieeoeffieients.Also,approximatelyviewingthegroundwatermigrationinporousmediaasBrownmovement,thelaws。fgroundwate:movementbeingstudiedbyintrodueingIt6。tochasticintegral.Key,ord:groundwatermovement,stochasticdifferentialequation,It6stochasti。integral前言由于随机微分方程(Stoehasti。Differen-tialEquation缩写5.D.E.)能较好地研究、揭示和描述客观事物的一些非确定性变化规律[31,这为更深刻地研究地下水运动规律又提供了一新的数学工具。地下水运动中的某些非确定性变化特征,更适宜用随机函数刻划与描述[1j。如:地下水位随机波动,地下水其它运动要素随机变化[2];水文地质系统边界条件非确定性变动及其它外界影响因素的变化等[2]。第一作者简介:潘宏雨,男,3岁,硕士,讲师,水文地质专业。本文试图较全面地探讨地下水运动随机微分方程模型的几种基本类型;简要介绍建立随机微分方程模型的原理和求解方法。概述我们的一些初步研究成果和应用体会,并首次引入伊藤(It6)随机积分,将地下水运移近似作为布朗运动,从而用于研究地下水运动的随机过程特征与规律。2仅含随机边界条件或随机初始条件的拟随机微分方程如果边界水位呈明显的随机波动,如边界水位突然变化,即短时间内偶然发生的水位上升或下降。此情形下,就不能忽视边界水位的随机波动对地下水位的随机影响。当边界水位随机变化但其水位均值稳定或等速升降时,可建立地下水运动的拟随机微分方勘察科学技术1998年第4期程模型。下面以河渠附近承压地下水的非稳定运动为例,对含随机边界条件的拟随机微分方程模型作一介绍。假设河渠完全切穿所研究的承压含水层,且假定该含水层为均质、各向同性、等厚,含水层中地下水的运动符合达西定律,并且当水位降低时,含水层贮存的水瞬时释放。该情况下,建立的地下水一维运动的随机微分方程模型为、、了、了、、产,上口曰八j了.、了、‘、了流一aS一T{举_J脚}”’t一Lh}二一。~h。(x)h:(t)式中h—距河渠x处观测孔中的水位;S—贮水系数;T—导水系数;h;(t)—河渠边界水位,为一随机变量(本文所用到的随机变量,均是定义在给定概率空间上,书写时,略去综合随机事件。,如“h:(。,t)"简写为h:(t))。若考虑的边界水位为等速升降的情形,即h:(t)的数学期望E[h:(t)]一Vot(V。表示边界水位均匀升降的速度,t为边界水位开始上升(或下降)以后经过的时间),此时h:(t)是服从N(Vot,尹)的正态随机过程。下面以此为例,说明含随机边界条件的地下水运动拟随机微分方程的求解方法。按一般随机微分方程求解方法,即将该情况下确定型模型的解作形式推广[1],便可得到拟随机微分方程(1)的随机过程解为{h(x,t)=h:(t)·M(u、)U。一德(4)式中,M(“、)为由u、决定的函数(见南京大学编《地下水动力学》中有关“河渠附近地下水非稳定运动”一节的M(u、)值表);h:(t)为边界水位,为服从N(Vot,护)的随机过程。于是fE[h(x,t)〕~E[hl(t)·M(u、)]IE[h(x,t)〕=Vot·M(u*)(5)D(h)一叮ZM艺(u*)(6)(5)式说明确定型方程的解仅是随机过程解的均值,(6)式可用来表示确定型解与真实水位的偏差方差。对于给定的置信水平a,则尸{}h一E〔h〕}成T。}~1一a,置信区间为E〔h〕一T。镇h成E〔h〕+T。,T。可...
