1《数学物理方法》第十章作业参考解答1．半径为a的半圆形薄板，板面绝热，在直径边界上温度保持零度，而在半圆周上保持恒温0u。求板内的稳定温度分布。解：定解问题()===≤≤<<=∂∂+∂∂∂∂=∇===002222,0,00,0011),(uuuuauuuaρπϕϕπϕρϕρρρρρϕρ设)()(),(ϕρϕρΦ=Ru，代入方程并分离变量，得，())()()(dd)(λϕϕρρρρρ=ΦΦ′′−=′RR，由此得到两个方程，0)()(=Φ+Φ′′ϕλϕ，0)()()(2=−′+′′ρλρρρρRRR以及边界条件，0,00=Φ=Φ==πϕϕ方程0)()(=Φ+Φ′′ϕλϕ与边界条件0,00=Φ=Φ==πϕϕ构成本征值问题，本征值和本征函数分别为2mm==λλ，ϕϕϕmmsin)()(=Φ=Φ，（L,2,1=m）。对应每一个本征值2mm==λλ，方程0)()()(2=−′+′′ρλρρρρRRR的解为，mmmmmBArR−+=ρρ)(方程的一般解为:ϕρρϕρmBAummmmmsin)(),(1∑=−+=0,)0(=∴∞→mBnotisuρQ代入边界条件0uua==ρ，得2∑==10sinmmmmaAuϕ其中，=+====∫∫∫nmnmmumumumaAmm20124dsin2dsindsin10000002πθθπθθθθπππ所以，L2,1,0,124)12(012=+=+−+nnauAnnπ∑∑=+=++−++=++=∴0120012)12(0)12sin()12(14)12sin()12(4),(nnnnnnanunnauuϕρπϕρπϕρ2.半径为a的无限长介质圆柱（介电常数为ε）放在匀强电场0E中，电场方向与圆柱轴线垂直。求柱内、外的电势分布。解：以圆柱的轴线为z轴，显然这是平面问题。以0E方向为x轴方向取极坐标系，设球内电势为),(1ϕρu，球外电势为),(2ϕρu，二者皆满足Laplace方程，011),(2222=∂∂+∂∂∂∂=∇ϕρρρρρϕρuuu，对球内问题，有自然边界条件∞≠=01ρu对球外问题，有边界条件ϕρρcos|02Eu−→∞→并且有衔接条件aaaauuuu====∂∂=∂∂=ρρρρρερε20121;用分离变量法，可得一般解为（分离变量过程，略）:∑=−++++=100))(sincos()ln1(),(mmmmmmDmBmADAuρρϕϕρϕρ柱内:∑=++=⇒==∴∞→101)sincos(),(2,1,0,0,)0(mmmmmmBmAAumDnotisuρϕϕϕρρLQ柱外:∑+++=−→∞→mmmmmBmADAEuρϕϕρϕρρ)sincos()ln1(cos|0003)(cos),()(0),1(01102−+−=∴=≠=⇒ρρϕϕρDEumallforBmforAmm由衔接条件:)2(||),1()()(20121aauuauau==∂∂=∂∂===ρρρερερρ由(1)得:ϕρϕϕϕcos)(),(0),1(0)(cos)sincos(11110111010AuaDaEaAmallforBmforAaDaEamBmAAmmmmmm=⇒+−=⋅=≠=⇒+−=++−−=∑由(2)得:)1(21001aDEA−−=εε联合求解:)(cos),(,cos2),(,,220002000120010001ρεεεερϕϕρρϕρεεεϕρρεεεεεεεaEuaforEuaforaDEA+−+−=>+−=<∴+−=+−=3.一半径为1的空心球，以球心为坐标原点，当表面充电至电势为)cos3cos21(20θθ++V（0V为常量）时，求球内各点的电势。解：由于对称性，u与ϕ无关定解问题为++=∞≠=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇==)cos3cos21(,0sinsin11),(20102222θθθθθθθVuuurrurrrrurr令)()(),(θθΘ=rRru，代入方程且乘以ΘRr2得，()())1(sinsin112+=′Θ′Θ−=′′llRrRθθ从而有，0)1(22=+−′+′′RllRrRr，40)1(sincos=Θ++Θ′+Θ′′llθθ记x=θcos，)()(xy=Θθ，得()0)1(212=++′−′′−yllyxyx，l阶Legendre方程，它与自然边界条件)(),0(πΘΘ有界，即1)(±=xxy有界，构成本征值问题。它的本征值和本征函数分别为)1(+==lllλλ，)()(xPxyl=()L,2,1,0=l对应每一个本征值，方程0)1(22=+−′+′′RllRrRr的解为11)(++=lllllrDrCrR方程的一般解为:)(cos)1(),(10θθllllllPrDrCru+∞=+=∑由∞≠=0ru，所以0=lD)(cos),(0θθllllPrCru∑∞==)cos3cos21()(cos2001θθθ++==∑∞==VPCulllr由)1cos3(21)(coscos)(cos1)(cos2210−===θθθθθPPP所以))(cos)(cos)(cos(2)cos3cos21()(cos2100200θθθθθθPPPVVPClll++=++=∑∞=可得02102VCCC===所以))(cos)(cos1(22210θθPrrPVu++=54.在点电荷（带电q04πε）的电场中放置一导体球（球的半径为a），球心语点电荷相距)(add>,求解着静电场。解：以球心为原点，极轴过点电荷取球坐标系，则静...
