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展示导入比较))((2222dcba与2)(bdac大小?解:22222)())((bdacdcba)2()(222222222222dbabcdcadbdacbca分析:做差比较0)(222222bcadabcddacb得证.选修4-5柯西不等式),,,()())((22222Rdcbabdacdcba柯西简介•柯西1789年8月2l日出生生于巴黎,柯西是一位多产的数学家,他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷,总计28卷。著作有《代数分析教程》、《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》。这些工作为微积分奠定了基础,促进了数学的发展,成为数学教程的典范。准备探究阅读课本23-25页,回答下列问题:•1.二维形式的柯西不等式的代数形式是什么?•2.柯西不等式的向量形式是什么?•3.柯西不等式的几何意义是什么?•4.二维形式的三角不等式是什么?它的几何意义是什么?•5.你能将二维形式的柯西不等式推广至三维形式的柯西不等式吗?•6.柯西不等式的一般形式是什么样的呢?1.二维形式的柯西不等式(1)定理1:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)二维形式的柯西不等式的推论:(a+b)(c+d)≥(a,b,c,d为非负实数);a2+b2·c2+d2≥(a,b,c,d∈R);(ac+bd)2|ac+bd|(ac+bd)2注意:柯西不等式取等号的条件不容易记忆,可以用dbca来联想记忆.2.柯西不等式的向量形式定理2:设α,β是两个向量,则,当且仅当β是,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.[注意]柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|,取等号“=”的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ.零向量3.二维形式的三角不等式(1)定理3:x21+y21+x22+y22≥(x1,y1,x2,y2∈R).当且仅当三点P1、P2与O共线,并且P1、P2点在原点O异侧时,等号成立.|α·β|≤|α|·|β|x1-x22+y1-y22(2)推论:对于任意的x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R,有x1-x32+y1-y32+x2-x32+y2-y32≥x1-x22+y1-y22.事实上,在平面直角坐标系中,设点P1、P2、P3的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|+|P2P3|≥|P1P2|,当且仅当三点P1、P2、P3共线,并且点P1、P2在P3点的异侧时,等号成立.4.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥,当且仅当或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3)2bi=0(i=1,2,3)5.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥,当且仅当bi=0(i=1,2…n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a1b1+a2b2+…+anbn)2猜想柯西不等式的一般形式:222222212121122()()()nnnnaaabbbababab分析:22212nAaaa设,1122nnBababab22212nCbbb,2.ACB则柯西不等式就是)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf构造二次函数0)()()()(2222211nnbxabxabxaxf又211222222221212()04()4()()0.nnnnfxabababaaabbb所以,二次函数的判别式,即,得证题型一利用柯西不等式证明不等式例1.(1)已知a2+b2=1,x2+y2=1,求证:|ax+by|≤1证明:由柯西不等式得(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)=1,∴|ax+by|≤1.合作探究[思维启迪]观察结构→凑成柯西不等式的结构→利用公式得出结论[思维启迪]利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数,对柯西不等式的原型,两组数可取为a1b1,a2b2;a1b1,a2b2.题型一利用柯西不等式证明不等式例1.(2)已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)·a1b1+a2b2≥(a1+a2)2.合作探究证明 (a1b1+a2b2)a1b1+a2b2=[(a1b1)2+(a2b2)2]a1b12+a2b22≥a1b1·a1b1+a2b2·a2b22=(a1+a2)2.∴原不等式得证.题型一利用柯西不等式证明不等式例1.(3)已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证:1a+1b...

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