柯西不等式-VIP免费

展示导入比较))((2222dcba与2)(bdac大小？解：22222)())((bdacdcba)2()(222222222222dbabcdcadbdacbca分析：做差比较0)(222222bcadabcddacb得证.选修4-5柯西不等式),,,()())((22222Rdcbabdacdcba柯西简介•柯西1789年8月2l日出生生于巴黎，柯西是一位多产的数学家，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷。著作有《代数分析教程》、《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》。这些工作为微积分奠定了基础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范。准备探究阅读课本23-25页,回答下列问题:•1.二维形式的柯西不等式的代数形式是什么？•2.柯西不等式的向量形式是什么？•3.柯西不等式的几何意义是什么？•4.二维形式的三角不等式是什么？它的几何意义是什么?•5.你能将二维形式的柯西不等式推广至三维形式的柯西不等式吗?•6.柯西不等式的一般形式是什么样的呢?1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥(a，b，c，d∈R)；(ac＋bd)2|ac＋bd|(ac＋bd)2注意：柯西不等式取等号的条件不容易记忆，可以用dbca来联想记忆．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则，当且仅当β是，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意]柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.零向量3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1、P2与O共线，并且P1、P2点在原点O异侧时，等号成立．|α·β|≤|α|·|β|x1－x22＋y1－y22(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有x1－x32＋y1－y32＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x22＋y1－y22.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1、P2、P3的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1、P2、P3共线，并且点P1、P2在P3点的异侧时，等号成立．4．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥，当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．(a1b1＋a2b2＋a3b3)2bi＝0(i＝1,2,3)5．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥,当且仅当bi＝0(i＝1,2…n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2猜想柯西不等式的一般形式：222222212121122()()()nnnnaaabbbababab分析：22212nAaaa设，1122nnBababab22212nCbbb，2.ACB则柯西不等式就是)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf构造二次函数0)()()()(2222211nnbxabxabxaxf又211222222221212()04()4()()0.nnnnfxabababaaabbb所以，二次函数的判别式，即，得证题型一利用柯西不等式证明不等式例1．（1）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1证明：由柯西不等式得(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，∴|ax＋by|≤1.合作探究[思维启迪]观察结构→凑成柯西不等式的结构→利用公式得出结论[思维启迪]利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，对柯西不等式的原型，两组数可取为a1b1，a2b2；a1b1，a2b2.题型一利用柯西不等式证明不等式例1.（2）已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·a1b1＋a2b2≥(a1＋a2)2.合作探究证明 (a1b1＋a2b2)a1b1＋a2b2＝[(a1b1)2＋(a2b2)2]a1b12＋a2b22≥a1b1·a1b1＋a2b2·a2b22＝(a1＋a2)2.∴原不等式得证．题型一利用柯西不等式证明不等式例1.（3）已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b...