2014年第53卷第7期一数学通报31反比例函数中的平行线探究与感悟吴家祥(山东省枣庄市第十五中学277102)1问题提出学生课外活动课题组在学习幂指数函数时，想探究幂指数函数图像中的平行线，遵循从特殊到一般的原则，选取幂指数函数中最特殊的函数“反比例函数”，对反比例函数图像中的平行线进行了探究．2性质与证明(1)性质一(1)如图1，若t2／／b，点A、D在直线n上，点B、C在直线b上则S△ABc—S△DBc．(2)如图1，若点A、D在直线口上，B、C在直线b上且S△ABc—S△DBc．则直线a／／b．BMNC课题组根据性质一，图1得出了反比例函数图像中的如下结论．(2)性质二L(1)如图2，若A、B分别是反比例函数y=羔o(忌>o)在同一象限上两点，AC上y轴，BD上z轴，垂足分别为C、D．则AB∥CD．证明如图2连接AD、BC、OA、OB，则S△∞D=S△∞日，S△^∞=S△舡D．1又因为s△觚一S△DOB一÷k，厶所以S／XBCD=S△^cD．由性质一可知AB∥CD．y＼D黟火弋’’’Dxy一鲁(志>o)在不同象限上两点，Ac上Y轴，BDj_z轴，垂足分别为C、D．则AB／／CD．证明略．3探究与发现课题组的同学发现，将上面图2、3中的线段CA、DB延长就会相交于一点P，于是又得出如下三个结论．(1)如图4，若P是反比例函数Y一鲁上一点，过P点作PD上z轴，PC上Y轴，垂足分别为D、c，PD、Pc分别交反比例函数y一譬于B、A且是。>忌：>O，则①AB／／CD；②等一譬．证明①略．②如图5，连接PO，则SIXPOD一-百1愚，，S△BOD导忌2．所以S△poB=扣飞)；又因为慧一器，所以等葡PB喵一学．由性质二旬知AB∥cD，所以等=器，㈤如三2一两蒯：⋯数所以面AB：Tkl--k23AB．(2)如图，若、两点分别是反比例函数“一、CD忌-‘万方数据32数学通报2014年第53卷第7期(2)如图6，若P是反比例函数y一警上一点，过P点作PD上z轴，PC上y轴，垂足分别为D、c，PD、Pc的延长线分别交反比例函数y—ik2于B、A且k1>O>忌2，则①AB／／CD；②万CD一忐．证明略．y岛I鲣A}砖O’’炒x／B图6图7(3)如图7，若P是反比例函数Y一鲁上一点，过P点作PD上z轴，PC上y轴，垂足分别为D、C，PD、PC的反向延长线分别交反比例函数y一鱼于B、A且是1>志2>0，则①AB／／CD；②等=譬．证明略．4推广与延伸课题组成员在合作探究中，发现还可以将这一结论推广与延伸．(1)如图8，若A、B是反比例函数y=鲁图像上同象限内两点，过A、B两点分别作AM上y轴，BN上z轴，垂足分别为M、N，AM、BN分别交反比例函数y一鲁图像(同一象限一支)于c、D戥，>忌2>0，则①AB／／CD／／MN②BD：DN=AC：CM一(kl--¨％；③MN一群．图8图9证明①易证(略)．②如图9，过B点作BF／／IAM，交直线CD于点E，交直线MN于点F，则AC／／BE，AC=BE；MC／／EF，MC—EF，设ON一口，于是BN一旦，DN一丝；所以BD：堑一生一生二丝，1212““所以BD：DN=(愚l--k2)：kz．同理可得AC：CM=(忌1--k2)：k：．所以BD：DN=AC：CM=(惫l--k2)：k2．③如图9，由上问易得ABED09ABFN．所以器=器=譬．由上问易得AB—CE=MF，又因为黑=学，ED—CD—CE—CD—AB。FN—MN—MF—MN—AB。所以丽CD--AB一_譬．所以MN：—kl1CD—--jk一2AB．(2)如图10，若P是反比例函数Y=鱼上一T点，过P点作PN上z轴，PMJ-Y轴，垂足分别为N、M，PN、PM分别交反比例函数Y=譬、y=垒(均与P在同一象限)于B、A和D、CN_k。>足：>忌。>0，则①AB／／CD／／MN；②PB：BD：DN=PA：AC：CM一(忌1一k2)：(忌2--k3)：k3；③AB：CD：MN=(是l--k2)：(愚1--k3)：k1．证明易证(略)．(3)如图11，若A、B两点分别是反比例函数Y一垒图像上在同一象限内的两点，过A、B两点分别作AMj_Y轴，BN上X轴，垂足分别为M、N，AM、BN所在直线分别交反比例函数Y=譬、y=垒于C、D和E、F瞰1>矗2>0>足。，则万方数据2014年第53卷第7期数学通报33y筵k2kl翅D，>蚺x／F图10图11①AB／／CD／／MN／／EF．②BD：DN：NF—AC：CM：ME一(忌1--k2)：志2：(--k3)．证明易证(略)．(4)如图12，若A、B两点分别是反比例函数YL一一Igl图像上在同一象限内工的两点，过A、B两点分别作AM上Y轴，BN上z轴，垂足分别为M、N，AB、BN所在直线分别交反比例函y七lb张丝∑彳k／对0谫i图12my=ik2、y一警于c、D和E、FKk。>o>惫：>k3，则(DAB／／MN／／CD／／EF，②BN：ND：DF=...
