2019-2020年苏教版数学选修2-2讲义：第1章+1.3+1.3.1+单调性及答案-1-/101.3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性学习目标核心素养1.利用导数研究函数的单调性．(重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)1.通过对导数与函数单调性关系的学习，培养数学抽象，直观想象素养．2．通过利用导数证明单调性、求单调区间等，培养数学运算素养.1．函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0f(x)为该区间上的增函数f′(x)<0f(x)为该区间上的减函数(2)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)在这个区间内是常数函数．2．导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．思考：利用导数求函数的单调区间，需要先确定什么？[提示]函数的定义域．函数的单调区间是函数定义域的子集．2019-2020年苏教版数学选修2-2讲义：第1章+1.3+1.3.1+单调性及答案-2-/101．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)D[f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)·(ex)′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0可得x>2，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．选D.]2．设f(x)＝12x＋1x(x<0)，则f(x)的单调递减区间为()A．(－∞，－2)B．(－2,0)C．(－∞，－2)D．(－2，0)D[f′(x)＝12－1x2，令f′(x)<0可得，－21，即f′(x)＝ex－1>0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．(2)由于f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.由于00.故f′(x)＝1－lnxx2>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．1．证明：函数y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．[证明]显然函数的定义域为{x|x>0}，2019-2020年苏教版数学选修2-2讲义：第1章+1.3+1.3.1+单调性及答案-4-/10又f′(x)＝(lnx＋x)′＝1x＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝exx－2；(3)f(x)＝－x3＋3x2.[思路探究]首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间．[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－1x＝2x－12x＋1x.因为x>0，所以2x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>22，所以函数f(x)的单调递增区间为22，＋∞；由f′(x)<0，解得x<22，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为0，22.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.2019-2020年苏教版数学选修2-2讲义：第1章+1.3+1.3.1+单调性及答案-5-/10由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为...
