以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明(第1题图)1．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．证明： AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC. DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，∴∠AEB＝∠CFD.在△AEB和△CFD中， ∠BAC＝∠DCF，AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB＝CD.又 AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．(第2题图)2．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC.求证：四边形ADCE是平行四边形．证明： CE∥AB，∴∠ADE＝∠CED.在△AOD与△COE中， ∠ADE＝∠CED，∠AOD＝∠COE，OA＝OC，∴△AOD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE.又 OA＝OC，∴四边形ADCE是平行四边形．(第3题图)3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，?ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C，D的坐标．(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD的面积．解：(1) 四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于点O中心对称， 点A(－4，2)，B(－1，－2)，∴点C(4，－2)，D(1，2)．(2)线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A到y轴距离为4，点D到y轴距离为1，点A到x轴距离为2，点B到x轴距离为2，∴S?ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S?ABCD＝5×4＝20.4．如图，在?ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．(第4题图)(第4题图解)解：如解图， 四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝10，AB∥DC. AB∥DC，∴∠1＝∠3，又 BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC＝CF＝10，∴DF＝CF－DC＝BF－DC＝10－6＝4.二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明(第5题图)5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y＝12x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.求证：四边形ABCD是矩形．(第5题图解)解：如解图，过点E作EF⊥AB于点F. AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABE和△CDE中， ∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE＝DE，∴△ABE≌△CDE，∴AE＝CE.又 BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD＝4. 点A(2，n)，B(m，n)(m>2)，∴AB∥x轴，∴CD∥x轴．∴m＝6.∴n＝12×6＋1＝4.∴点A(2，4)，B(6，4)． △AEB的面积是2，∴EF＝1， ?ABCD的面积为△ABE的面积的4倍，∴S?ABCD＝8，∴?ABCD的高为2. q
