以特殊三角形为背景的计算与证明一、以等腰三角形为背景的计算与证明1．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE，设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是(B)(第1题图)A.y＝32x2B.y＝3x2C.y＝23x2D.y＝33x2解： ON是Rt∠AOB的平分线，∴∠DOC＝∠EOC＝45°. DE⊥OC，∴∠ODC＝∠OEC＝45°，∴CD＝CE＝OC＝x，∴DF＝EF，DE＝CD＋CE＝2x. ∠DFE＝∠GFH＝120°，∴∠CEF＝30°，∴CF＝CE·tan30°＝33x，∴EF＝2CF＝233x，∴S△DEF＝12DE·CF＝33x2. 四边形FGMH是菱形，∴FG＝MG＝FE＝233x. ∠G＝180°－∠GFH＝60°，∴△FMG是等边三角形，∴S△FGH＝33x2，∴S菱形FGMH＝233xx2，∴S阴影＝S△DEF＋S菱形FGMH＝3x2.故选B.(第2题图)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.证明： AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD.(第3题图)3．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.证明： AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又 ∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°.(1)若AD＝2，求AB.(2)若AB＋CD＝23＋2，求AB.(第4题图)(第4题图解)解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F. ∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45°－45°－105°＝165°，∴∠BDF＝∠ADC－∠ADB＝165°－105°＝60°.易证△ADE与△BCF为等腰直角三角形， AD＝2，∴AE＝DE＝22＝2， ∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°－45°－30°＝30°，∴BE＝DEtan30°＝233＝6，∴AB＝AE＋BE＝2＋6.(2)设DE＝x，则AE＝x，BE＝xtan30°＝x33＝3x，∴BD＝x2＋（3x）2＝2x. ∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝12BD＝x，∴BF＝BD2－DF2＝（2x）2－x2＝3x，∴CF＝3x， AB＝AE＋BE＝x＋3x，CD＝DF＋CF＝x＋3x，AB＋CD＝23＋2，∴x＝1，∴AB＝3＋1.二、以直角三角形为背景的计算与证明5．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长．(2)在△ABC中，求BC边上高的长．(第5题图)(第5题图解)解：(1) DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3.(2)延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E. DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB. D为AC边的中点，∴BD＝12AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.(第6题图)6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.求证：CD⊥AB.解： ∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. ∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB.(第7题图)7．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E.若AB＝5，求线段DE的长．解： AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE. AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE. AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝12AB＝2.5.(第8题图)8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．(1)求证：AE＝ED.(2)若AC＝2，求△CDE的周长．解：(1)证明： ∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴CD＝AD＝DB. ∠B＝30°，∴∠A＝60°.∴△ACD是等边三角形． CE是斜边AB上的高，∴AE＝ED.(2)由(1)，得AC＝CD＝AD＝2ED，又 AC＝2，∴CD＝2，ED＝1.∴CE＝22－1＝3.∴△CDE的周长＝CD＋ED＋CE＝2＋1＋3＝3＋3.9．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.(1)求∠B的度数．(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝12AB.(第9题图)解：(1) 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°，又 CD为高，∴∠B＝90°－60°＝30°.(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，AC＝12AB. ∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.又 由(1)...
