xyF3F2F1OOFGθ45°F2F1F3从一道课本习题看平面向量的解题策略胡贵平（甘肃省白银市第九中学，甘肃白银730913）题目：平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，.与的夹角为，求：(1)的大小；(2)与夹角的大小.这是人教A版高中数学必修4（P113）一道习题，下面通过五种不同的解法来看平面向量的解题策略.解法一（几何化）：如图所示，设，的合力为，与的夹角为，过作所在直线的垂线，垂足为,则，在中，.,.所以，与的夹角为.点评：向量问题和平面几何问题可以相互转化，向量可以用有向线段表示，向量的模可以用有向线段的长度表示，向量问题几何化，就是通过解决几何特征的关系解决向量问题.解法二（坐标化）：建立如图所示的直角坐标系.因为,，,所以，....从而与的夹角为.点评：由于向量可以用坐标表示，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，这样数与形就有145°F3F1F2OOF3F1F2F机结合起来了.许多问题通过向量的坐标化，避免了繁琐的运算.解法三（代数化）：三个力、、作用于一点且处于平衡状态，所以，即.从而与的夹角为.点评：从向量的代数特征着手解决问题，如，，，,都是向量代数化的基本形式.解法四（物理化）：三个力、、作用于一点且处于平衡状态，所以，由拉密定理，即.由,即.解得，从而与的夹角为，.2OF3F1F2F点评：对于三个力的平衡，物理中可以用拉密定理求解.物理量之间的关系可以抽象成数学关系，数学关系又可以解释相应的物理现象，两者联系紧密.解法五（模型化）：如图所示，设、的合力为，则,因为,所以，在中，由余弦定理得.所以，即.又由正弦定理得，所以，从而与的夹角为.点评：向量的模、数量积的定义以及坐标形式都有模型特征.利用向量加法构造三角形模型，通过余弦定理、正弦定理求解，体现了等价转化的数学思想方法.3
