离散数学-第七章习题答案 VIP免费

第7章习题答案1．f（x）=2x+1是从整数集合到正整数集合的函数，它的值域是什么？解：它的值域是正奇数集合。2．试问下列关系中哪个能构成函数？（1）{x，yx，yN，x+y10}（2）{x，yx，yR，y=x2}（3）{x，yx，yR，y2=x}解；（1）、（3）不满足函数的定义，只有（2）是函数。3．下列集合能够定义函数吗？如果能，求出它们的定义域和值域。（1）{1,2,3,2,3,4,3,1,4,4,1,4}（2）{1,2,3,2,3,4,3,3,2}（3）{1,2,3,2,3,4,1,2,4}（4）{1,2,3,2,2,3,3,2,3}解：(1)、(2)、(4)定义的是函数。(1)的定义域是{1,2,3,4},值域是{2,3,3,4,1,4}(2)的定义域是{1,2,3},值域是{2,3,3,4,3,2}(4)的定义域是{1,2,3},值域是{2,3}4．设f，g都是函数，并且有fg和dom（g）=dom（f），证明f=g证明：假设fg，因为fg和dom（g）=dom（f），则存在x1dom（g）和dom（f），使得x1,y1g但x1,y1f，因为f是函数，在定义域上处处有定义，所以必存在y2，使得x1,y2f，由fg得x1,y2g，这与g是函数满足单值性矛盾。故假设错误，必有f=g。6．设X={0，1，2}，求出XX中的如下函数（1）f2（x）=f（x）（2）f2（x）=x（3）f3（x）=x解：（1）有10个函数，分别是：f1（x）={0,0,1,0,2,0}f2（x）={0,1,1,1,2,1}f3（x）={0,2,1,2,2,2}f4（x）={0,1,1,1,2,2}f5（x）={0,2,1,1,2,2}f6（x）={0,0,1,0,2,2}f7（x）={0,0,1,2,2,2}f8（x）={0,0,1,1,2,0}f9（x）={0,0,1,1,2,1}f10（x）={0,0,1,1,2,2}（2）有4个函数，分别是：f1（x）={0,0,1,1,2,2}f2（x）={0,0,1,2,2,1}f3（x）={0,2,1,1,2,0}f4（x）={0,1,1,0,2,2}（3）有3个函数，分别是：f1（x）={0,0,1,1,2,2}f2（x）={0,1,1,2,2,0}f3（x）={0,2,1,0,2,1}8．设f,g,h是N→N的函数,其中N是自然数集合，f(n)＝n＋1,g(n)＝2n,是奇数若是偶数若nnnh10)(试确定：ff，fg，gh，hg及(fg)h。解：1112ffxffxfxxx221fgxfgxfxx是奇数若是偶数若是奇数若是偶数若xxxgxgxhgxhg20)1()0())(())((20xhgxhxhg是奇数若是偶数若是奇数若是偶数若）（xxxgfxgfxhgfxhgf31)1)(()0)(())()(()()(14．下列函数中哪一个是单射的、满射的或双射的？（1）f：Z+R，f（n）=log10n，Z+为正整数（2）f：R+R，f（n）=log10n，R+为正实数（3）f：RR，f（x）=2x-15（4）f：R+RR+，f（x，y）=xy，R+为正实数（5）f：R+RR，f（x，y）=xy，R+为正实数解：（1）单射，（2）双射，（3）双射，（4）满射，（5）不单射不满射。15．设gf是一复合函数，试证明：（2）如果f和g都是单射的函数，则gf也是单射的函数。证明：设f：XY，g：YZ，则gf：XZ对于任意x1，x2X，设gf（x1）=gf（x2），即g（f（x1））=g（f（x2））因为g是单射的函数，所以f（x1）=f（x2）同理因为f是单射的函数，所以x1=x2根据单射函数的定义，gf是单射函数。17．设g和f是函数，证明下面的结论（1）如果gf是满射函数，则g是满射函数。证明：设f：XY，g：YZ，则gf：XZ对于任意zZ，因为gf是满射函数，所以，存在xX，使得gf（x）=z，即g（f（x））=z。又因为f是函数，必存在y，使得f（x）=y。把f（x）=y代入g（f（x））=z得g（y）=z。根据满射函数的定义，g是满射函数。19．对下面给出的每一对集合A和B，构造一个从AB的双射函数（2）A=Z，B=N（4）A=NN，B=N解：（2）f（x）=NZxxNxx122（4）见书213页例85f（m，n）=[（m+n）2+3m+n]/224．（1）证明：如果f：AB是单射的，而且A是A的任一子集，则fA：AB是单射的。证明：对于任意x1，x2A，设fA（x1）=fA（x2），因为A是A的子集，所以x1，x2A，由fA的定义知，fA（x1）=f（x1），fA（x2）=f（x2），则有f（x1）=f（x2），又因为f是单射的，所以x1=x2。根据单射函数的定义，fA是单射的。