当涂县第四届自然科学优秀学术论文评选关于“拿破仑三角形”的探究太白初中魏兆飞【简历】魏兆飞，男，生于1965年10月。中共党员，中学高级教师。1987年毕业于徽州师专生物专业，后在芜湖师专进修数学教育专业，2003年获得双专科学历。现任教于当涂县太白初中。工作以来，担任班主任工作十三年、数学教研组长十九年。多次被评为太白镇先进教师。1989年被评为县先进教育工作者，2007年被评为市级优秀班主任，2008年荣获县级教学能手称号。2009年担任市级《初中数学课堂导入策略的案例研究》课题组组长，于2012年课题顺利结题。教研成果丰硕。2010年《初中数学课堂导入策略的案例研究初探》论文获市级二等奖；2011年市级课件大赛《多彩的几何图形》获一等奖；2012年市级课件大赛《函数、几何动态问题探究》获一等奖；2013年市级课件大赛《二次函数与反比例函数动态探究》获一等奖，2013年中考所任数学学科位居全县均分第一、及格率第一、优秀率第二的优异成绩；2014年当涂县第四届自然科学优秀学术论文评比《关于“拿破仑三角形”的探究》获三等奖。【摘要】数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。本文对古老命题：“拿破仑三角形”进行了深入的探究，引导学生观察发现其中存在“三线共点、三圆共点、费玛点”等相关知识。以“关联相似”为前提，鼓励学生对拿破仑三角形定理进行猜想、推广与证明；以三角形三边，在三角形的外侧（或内侧）作三个“同向相似”的三角形，研究它们其中对应点组成的三角形与所作“同向相似”三角形之间的联系，进而将拿破仑三角形定理加以推广，并以其证明了一道国际奥林匹克数学竞赛题，培养了学生的想象能力、创新能力与数学探索精神。【关键词】拿破仑三角形；三线共点；三圆共点；费玛点；“关联相似”。一、问题的提出问题还是从一堂数学活动课说起。我在给学生介绍一些古老的几何命题时，讲到了法国政治家、军事家拿破仑（NapoLeon），他崇尚几何，曾经研究过一道命题：任意三角形，由它的三边分别向外侧作正三角形，那么这三个正三角形的中心也构成一个正三角形。人们把这个由中心构成的正三角形称“拿破仑三角形”，这一命题被称为拿破仑三角形定理。问题一经提出，学生们全神贯注起来。【拿破仑（NapoLeon）三角形定理】如图1。已知：任意△ABC，由它的三边分别向它的形外（或形内）作正△PBA、正△BQC、正△ACR，则它们的中心O1、O2、O3组成的△O1O2O3也是一个正三角形（△O1O2O3称为拿破仑三角形）。学生们被它的美妙而为之震撼！【分析】在这里，我们需要作三个正三角形的外接圆。设：⊙PBA与⊙ACR相交于点M，连结MB、MC分别交O1O2、O2O3于点D、点E。由于∠P、∠R都是60°，于是得到∠BMA与∠CMA都是120°，这样∠BMC也是120°。∴∠BMC＋∠Q=180°。故而，四点B、Q、C、M四点共圆。也就是说：⊙O1、⊙O2、⊙O3三圆共点。到了这里，由于BM、CM分别是它们的公共弦，根据连心线垂直平分公共弦，∴∠MDO2与∠MEO2都是直角，于是在四边形MDO2E中，∴∠O2=60°。同理可证∠O1=60°，∠O3=60°。这样，我们证明了拿破仑三角形定理。同学们脸上都露出了满意的笑容。推广与特例：如图2。任意△ABC，由它的三边分别向它的形内作正△PBA、正△BQC、正△ACR，则△O1O2O3也是一个正三角形(证明略)。如图3。当△ABC的顶点A落在边BC时，正△PBA、正△BQC、正△ACR，它们的中心O1、O2、O3组成的△O1O2O3是正三角形。如图4。如果O1、O2、O3是AB、QC、RC中点时，△O1O2O3也是正三角形。数学探索1O2QO1PO3RACB图2O2O3O1QRPCBA图3图4O2O3O1QRPBCA图1O2O3O1QRPABC关于拿破仑三角形的探究二、拿破仑三角形与费玛点我便总结：此问题中，存在一个“三圆共点”，话音未落，学生许小青同学说道：有三圆共点，那么其中有没有三线共点呢？他的提问，让同学们又思索起来。同学们纷纷议论起来，谷军同学首先观察到：PC、QA、RB似乎三线共点呢？我就顺水推舟道：对！善于观察是科学研究的第一步，在观察的基础上提出猜想，再加以证明。有吗？我们再来共同研究一下这个问题，如图5。分别连结MA、MP、MB、MQ、MC、MR...
