高阶常系数线性微分方程VIP免费

110-5高阶常系数线性微分方程2()d()dgyyfxx1.可分离变量的：d(d)yyxx2.齐次型:()()yPxyQx3.一阶线性方程：一阶方程可降阶的高阶方程()()nyfx(,)yfxy()()PxyyPx令则(,)yfyydd()ddyPPyyPxy令则逐次积分求解关键:辨别方程类型,掌握相应的求解步骤复习3()()0yPxyQxy1.二阶齐次线性方程的标准形式()()()yPxyQxyfx2.二阶非齐次线性方程的标准形式2211yCyCy*2211yyCyCy通解为：通解为：21,yy其中线性无关，即常数，12yy即).(12xuyy★二阶线性微分方程的标准形式及解的性质：4高阶常系数线性微分方程第五节第十章二、高阶常系数非齐次线性微分方程一、高阶常系数非齐次线性微分方程510-510-5高阶常系数线性微分方程高阶常系数线性微分方程下面讨论二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法.()(1)11()()()(),nnnnnyPxyPxyPxyfx在阶线性方程中定义(),,,,nyyyy如果未知函数及其各阶导数的系数全都是常数时.则称该方程为常系数线性微分方程:一般形式()(1)(2)121(),nnnnnypypypypyfx121:,,,,.nnpppp其中均为常数0ypyqy(p,q为常数)60ypyqy1.二阶常系数齐次线性方程的标准形式()ypyqyfx2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式(p,q为常数)(p,q为常数)2211yCyCy*2211yyCyCy通解为：通解为：21,yy其中线性无关，即常数，12yy即).(12xuyy一、二阶常系数线性微分方程的标准形式及解的性质：7二、二阶常系数齐次线性方程的解法将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程21,242ppqr特征根0ypyqy(p,q为常数)rxery2,rxrey则rxey是方程的解.设rxey是方程的解设20rrprq是的解8,11xrey,22xrey两个线性无关的特解：得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCyⅠ有两个不相等的实根)0(设特征根为xrrxrxreee)(2121023yyy如：特征方程为，0232rr,11r212.xxyCeCe，21,rr21rr且常数则通解为22rrxey是方程的解设20rrprq是的解9,11xrey,221prrⅡ有两个相等的实根)0(一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy,0)()2(1211uqprrupru,)(12xrexuy特征根为044yyy如特征方程为，0442rr，221rr.)(221xexCCy)]([12xuyy222yyy，，将代入原方程并化简得,0u知,)(xxu取,12xrxey则则通解为设另一特解为：rxey是方程的解设20rrprq是的解10,1ir,2irxiey)(1xiey)(2Ⅲ有一对共轭复根)0(重新组合)(21211yyy,cosxex)(21212yyiy,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx设特征根为0yy如特征方程为，012r,1ir.sincos21xCxCyxixee)sin(cosxixexxixee)sin(cosxixex则通解为.2ir21[tan]yxy常数1102qprr0ypyqy，定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其总之xrxreCeCy2121rxexCCy)(21)sincos(21xCxCeyx通解的表达式特征根情况21rr实根rrr21实根ir2,1复根通解的方法称为特征方程法.12解特征方程为,0522rr解得,212,1ir故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx解特征方程为,0122rr解得,121rr故所求通解为.)(21xexCCy02yyy例1求方程的通解.052yyy例2求方程的通解.特征方程为230rr1203rr，故所求通解为例3求03yy的通解.解.321xeCCy1313532121CCCC解得,2,121CC故所求特解为532.xxsee解特征方程为,01522rr解得,3,521rr故所求通解为5312.xxsCeCe.353251xxeCeCs1)0(,3)0(ss由得：22dd2150(0)3,(0)1.dd4sssssxx求微分方程足例满的...