版权所有，翻版必究第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。解：S=1000s20¬p7%+Xs10¬p7%X=50000−1000s20¬p7%s10¬p7%=651.722．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X，则有10000=X+250a48¬p1.5%解得X=1489.363．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1。试计算该年金的现值。解：PV=na¬npi1−vnn=n1n=(n+1)nn2−nn+2(n+1)n4．已知：a¬np=X，a2¬np=Y。试用X和Y表示d。解：a2¬np=a¬np+a¬np(1−d)n则Y−X1d=1−(X)n5．已知：a¬7p=5.58238,a11¬p=7.88687,a18¬p=10.82760。计算i。解：a18¬p=a¬7p+a11¬pv7解得6.证明：11−v10=s10¬p+a∞¬p。s10¬pi=6.0%北京大学数学科学学院金融数学系第1页版权所有，翻版必究证明：s10¬p+a∞¬p(1+i)10−1+11s10¬p=i(1+i)10−1ii=1−v107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：PV=100a¬8p3%+100a20¬p3%=2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日1000¨25¬p8%=X¨15¬p7%解得9．已知贴现率为10%，计算¨¬8p。X=8101.65解：d=10%，则i=110.求证：(1)¨¬np=a¬np+1−vn；1−d−1=19¨¬8p=(1+i)1−v8i=5.6953(2)¨¬np=s¬−np1+(1+i)n并给出两等式的实际解释。证明：(1)¨¬np=1−dvn=1−ivn=1−vni+1−vn所以(2)¨¬np=(1+i)n−11+i¨¬np=a¬np+1−vn(1+i)n−1=(1+i)n−1n−1d=i1+ii+(1+i)所以¨¬np=s¬−np1+(1+i)n版权所有，翻版必究12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV=100a49¬p1.5%−100a¬2p1.5%=3256.88AV=100s49¬p1.5%−100s¬2p1.5%=6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y，在第11－20年中没有。已知：v10=1，计算Y。解：因两种年金价值相等，则有2a30¬pi+a10¬piv10=Ya30¬−piYa10¬piv10所以Y=3−v10−2v301+v10−2v30=1.814.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。解：由题意知，2a2¬npi+3a¬npi=362a¬npivn=6解得a¬7pa¬3p+sX¬pi=8.33%15.已知a11¬p=aY¬p+sZ¬p。求X，Y和Z。解：由题意得解得1−v71−v11=(1+i)X−v3(1+i)Z−vY16.化简a15¬p(1+v15+v30)。解：X=4,Y=7,Z=4a15¬p(1+v15+v30)=a45¬p北京大学数学科学学院金融数学系第3页版权所有，翻版必究17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解：年金在4月1日的价值为P=1+4.5%4.5%×2000=46444.44，则PV=P(1+i)2+23=41300.65718.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。解：设递延时间为t，有1解得t=−ln(1+lniPi)P=ivt19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有X1000¨20¬pi=iv29解得X=1000((1+i)30−(1+i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1+i)n。解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为i3a¬npi，而D得到遗产的现值为vn。由题意得所以1−vn3(1+i)n=4=vn21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49，求B与D的份...
