函数展开成幂级数VIP免费

函数展开成幂级数由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。一、泰勒级数上节例题)11()1ln()1(11xxnxnnnnnnxxaxf)()(00存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:1.如果能展开,是什么?na2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?定理1如果函数)(xf在)(0xU内具有任意阶导数,且在)(0xU内能展开成)(0xx的幂级数,即nnnxxaxf)()(00则其系数),2,1,0()(!10)(nxfnann且展开式是唯一的.证明即内收敛于在),()()(000xfxuxxannnnnxxaxxaaxf)()()(0010逐项求导任意次,得10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf)(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得令,0xx),2,1,0()(!10)(nxfnann泰勒系数泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的xf如果)(xf在点0x处任意阶可导,则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)(称为)(xf在点0x的泰勒级数.nnnxnf0)(!)0(称为)(xf在点0x的麦克劳林级数.问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)(泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.定义0,00,)(21xxexfx例如在x=0点任意可导,),2,1,0(0)0()(nfn且00)(nnxxf的麦氏级数为.0)(),(xs内和函数该级数在).()(,0xfxfx于的麦氏级数处处不收敛外除定理2)(xf在点0x的泰勒级数,在)(0xU内收敛于)(xf在)(0xU内0)(limxRnn.证明必要性,)(能展开为泰勒级数设xf)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii),()()(1xsxfxRnn)()(lim1xfxsnn)(limxRnn)]()([lim1xsxfnn;0充分性),()()(1xRxsxfnn)]()([lim1xsxfnn)(limxRnn,0),()(lim1xfxsnn即).()(xfxf的泰勒级数收敛于定理3设)(xf在)(0xU上有定义,0M,对),(00RxRxx,恒有Mxfn)()(),2,1,0(n,则)(xf在),(00RxRx内可展开成点0x的泰勒级数.证明10)1()()!1()()(nnnxxnfxR,)!1(10nxxMn),(00RxRxx,),()!1(010收敛在nnnxx,0)!1(lim10nxxnn,0)(limxRnn故),(00RxRxx.0的泰勒级数可展成点x二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:;!)()1(0)(nxfann求,)(0lim)2()(MxfRnnn或讨论).(xf敛于则级数在收敛区间内收例1.)(展开成幂级数将xexf解,)()(xnexf),2,1,0(.1)0()(nfnnxxnxxe!1!2112,0M上在],[MMxnexf)()(Menxxnxxe!1!2112由于M的任意性,即得),(!1!2112xxnxxenx例2.sin)(的幂级数展开成将xxxf解),2sin()()(nxxfn,2sin)0()(nfn,0)0()2(nf,)1()0()12(nnf),2,1,0(n)()(xfn且)2sin(nx1),(x)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),(x例3.)()1()(的幂级数展开成将xRxxf解,)1)(1()1()()(nnxnxf),1()1()0()(nfn),2,1,0(nnxnnxx!)1()1(!2)1(12nnnaa1lim1nn,1,1R若设内在,)1,1(nxnnxxs!)1()1(1)(1)!1()1()1()1()(nxnnxxsnxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2!)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm利用)()1(xsx1222!)1()1(!2)1(nxnnxx)(xs,1)()(xxsxs.1)0(s且两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx)1,1(x得),1ln()0(ln)(lnxsxs即,)1ln()(lnxxs,)1()(xxs)1,1(xnxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2注意:.1的取值有关处收敛性与在x);1,1(1...