第四节垂直关系【考纲下载】1．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线与这个平面垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理若果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⇒a∥b2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．3．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面⇒l⊥α1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平面是否垂直？提示：垂直．2．如果两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行吗？提示：不一定．可能平行、相交或异面．3．垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出．1．(教材习题改编)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B①④正确．2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交解析：选C a⊥b，a⊥α，∴b∥α或bα.3．(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB、PC，PA、AC、BD，则一定互相垂直的平面有()A．8对B．7对C．6对D．5对解析：选B由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．4．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α“内的一条直线，则α⊥β”是“m⊥β”的________条件(“”“”“”填充分不必要、必要不充分或充要)．解析：设α∩β＝l，则当mα，且m⊥l时，有m⊥β，否则m不垂直β，故α⊥β⇒/m⊥β；反之，若mα，m⊥β，则α⊥β.答案：必要不充分5．(教材习题改编)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB＝________.解析：如图所示，取AC的中点O，连接OD，OB，DB，由条件知，OD⊥OB，设AD＝1，则OD＝OB＝，所以DB＝＝1.所以△ADB为正三角形，故∠DAB＝60°.答案：60°高频考点考点一直线与平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．2．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度：(1)同真假命题的判断相结合考查；(2)以多面体为载体，证明线面垂直问题；(3)以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题．[例1](1)(·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β(2)(·广东高考)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC＝.①证明：DE∥平面BCF；②证明：CF⊥平面ABF；③当AD＝时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.[自主解答](1)设直线aα，bα，a∩b＝A， m⊥α，∴m⊥a，m⊥b.又n∥m，∴n⊥a，n⊥b，∴n⊥α.(2)①证明：在等边三角形ABC中，AB＝AC. AD...
