第六节空间向量的运算及空间位置关系【考纲下载】1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系名称内容空间直角坐标系以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系O－xyz.坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)右手直角坐标系的含义：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向，称这样的坐标系为右手系．(3)空间中点M的坐标：空间中点M的坐标常用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系．2．空间两点间的距离(1)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝.特别地，点P(x，y，z)与坐标原点O的距离为|OP|＝.(2)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为.3．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中既有大小又有方向的量向量的模空间向量的大小叫作向量的长度或模，用||或|a|表示向量的夹角过空间任意一点O作与向量a、b相等的向量、，则∠AOB叫作向量a、b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b≤〉π，〈a，b〉＝时，向量a、b垂直，记作a⊥b，〈a，b〉＝0或π时，向量a、b平行，记作a∥b直线的方向向量若l是空间一直线，A、B是直线l上任意两点，则称AB―→为直线l的方向向量．显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量平面的法向量如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量单位向量对于任意一个非零向量a，我们把叫作向量a的单位向量，记作a0，a0与a同向4．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)空间向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.把e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．5．线性运算的运算律(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)数乘向量分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(4)向量对实数加法的分配律：a(λ＋μ)＝λa＋μa；(5)数乘向量的结合律：λ(μa)＝(λμ)a.6．空间向量的数量积(1)定义：空间两个向量a和b的数量积等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b.(2)运算律：①交换律：a·b＝b·a；②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③结合律：λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)．(3)常见结论：①|a|＝；②a⊥b⇔a·b＝0；③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．7．空间向量的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)；(3)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；(4)a＝＝；(5)cos〈a，b〉＝＝.1．空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？坐标轴上的点的坐标有什么特点？提示：空间直角坐标系中的坐标平面将空间分成8部分．坐标轴上点的坐标的特点是另外两个坐标均为零．2．对于实数a，b，若ab＝0，则一定有a＝0或b＝0，而对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0吗？提示：不一定．因为当a≠0且b≠0时，若a⊥b，也有a·b＝0.3．对于非零向量b，由a·b＝b·c⇒a＝c，这一运算是否成立？提示：不成立．根据向量数量积的几何意义，a·b＝b·c说明a在b方向上的投影与c在b方向上的投影相等，而不是a＝c.1．(教材习题改编)下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线...
