第三章连续转动群第一节基本概念和定理对称操作:使物质体系所占空间位置不变的空间变换。对称操作需满足两个基本条件:①任意两点间距离不变;②任意两向量间夹角不变。对称操作群:对于一个物质体系,由该体系的所有对称操作构成的集合。1对称操作类型:①旋转(rotation):绕固定轴(有向线段)转某个角度(0~2𝜋)。2②镜面反射(也叫反映)(mirrorreflection):镜面记作σ,以为法向量的平面,记作。,分别为垂直和通过主轴的镜面.③平移(translation):空间中所有点沿相同方向移动相同距离的操作,用向量表示(其指向表方向,长度表距离)。④反演(inversion):。反演与镜面反射两者相互关联,其中只有一个是基本的。(反演=绕含反演中心的轴旋180°后做垂直转轴的平面的镜面反射,即)•空间操作(spaceoperation):由平移实现,空间所有点都发生变动。•点操作(pointoperation):空间中至少有一点不变的对称操作,称为点对称操作,简称点操作。包括旋转和镜面反射。例:1.C3v群是点操作•有旋转对称轴•旋转任意角度不变,有无限多个操作。•绕轴旋转角度𝜑:32.花瓶∴构成Abel群,称为R(2)群或SO(2)群。(二维旋转对称操作构成的二维旋转群)3.圆球绕过球心的任意转轴旋转任意角度均是对称操作,构成R(3)群或SO(3)群。(三维旋转群)过球心平面的镜面反射也是对称操作,与R(3)群操作联合构成O(3)群。(全正交群)4点操作的特点:设不动的点为坐标原点,则点操作不改变任意两矢量,间的相对位置(数学上称保长、保角变换)。点操作在三维空间中对应一个算符A:;内积:满足此关系的变换满足保长、保角变换。5Oαα由要求即变换算符A是幺正的。三维实空间中,变换A不会将实矢量变成复矢量,∴A是实变换,结合幺正性,表明A是正交算符,对应矩阵为正交矩阵:。由正交变换构成的群称为O群(全正交群)。三维实空间:O(3)群SO(3)群是Specialorthogonalgroup.O(3)=SO(3)Ci,Ci={e,I}6旋转、反射在实空间中对应着正交算符:,,(正交矩阵的性质)7用反证法:假设对某一φ值,则在0~φ之间必有某φm值,其违反,8引理1三维空间中,纯旋转操作对应的正交矩阵的行列式等于1。证明:,φ连续变化,A的矩阵元和行列式也应连续变化。,zO9Cz(φ)1–10𝓐(φ),由引理1,∴◆含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为–1。正当操作:;非正当操作:。10反演:可视为三元一次线性方程组的久期行列式:11引理2的正交矩阵A对应一个定轴转动。证明:∴可见是A旋转操作的定轴。12由于,该齐次线性方程组必有非零解。设,,构成非零解,定义Cz(φ):φ是表征群元的一个连续参数。与类似,有,=?ρ(φ)为φ~φ+Δφ范围内的群元密度。13第二节定轴转动群SO(2)二维量子力学问题:轴对称势场,能量也就具有轴对称性。若(无限小的值)是一个算符,称为无穷小算符。是群元算符,其一阶导数仍然对应一个算符(该算符不一定是无穷小量,起生成元作用)。14为有限值时,可写为n为正整数当时,在具体线性空间中有特定的算符形式,对应一个特定的矩阵。例如:三维实空间中,无穷小角:15是反厄米算符:(∵Cz(φ)是幺正算符、正交算符)假设φ→0,忽略φ2项,有∴定义,有,φ∴由,∴取,,做基矢,确定的矩阵:;该矩阵虽然是奇异的,但对应于群元的表示,不是奇异的。此时1对应单位阵I0(3)。16算符的另一种含义:在一般的函数空间中,基函数为,时:17θ群的不可约表示和特征标系:群是Abel群,不可约表示都是1维的。两边对求导:1819()即而∴要求不可约表示:特征标:SO(2)群:不同m值对应不同不可约表示,无穷多个。前面,这里,但不能认为,算符≠数。前者为算符、群元,后者为群表示、特征标。20由并考虑到群阶g→∞,ρ(α)=g/2π则有与有限群情况相似。(利用)可见=常数,即是守恒量。21(1)在经典力学中,物体处于二维势场中,如果具有绕z轴旋转对称性,,即(2)在量子力学中:算符在作用下不变,所以为本征函数,是矩阵,也是本征值。两边乘以:可见,旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。所以22可作为SO(2)群不可约表示的基矢,同时也是和的本征函数。对某力学系统,先分析其对称性,若关于某轴旋转对称,则角动量守恒,且态函数中必有因子项。