群论-第三章 连续转动群 2011.12.7VIP专享VIP免费

第三章连续转动群第一节基本概念和定理对称操作：使物质体系所占空间位置不变的空间变换。对称操作需满足两个基本条件：①任意两点间距离不变；②任意两向量间夹角不变。对称操作群：对于一个物质体系，由该体系的所有对称操作构成的集合。1对称操作类型：①旋转(rotation)：绕固定轴（有向线段）转某个角度(0～2𝜋)。2②镜面反射(也叫反映)(mirrorreflection)：镜面记作σ，以为法向量的平面，记作。，分别为垂直和通过主轴的镜面.③平移(translation)：空间中所有点沿相同方向移动相同距离的操作，用向量表示（其指向表方向，长度表距离）。④反演(inversion)：。反演与镜面反射两者相互关联，其中只有一个是基本的。（反演=绕含反演中心的轴旋180°后做垂直转轴的平面的镜面反射，即）•空间操作(spaceoperation)：由平移实现，空间所有点都发生变动。•点操作(pointoperation)：空间中至少有一点不变的对称操作，称为点对称操作，简称点操作。包括旋转和镜面反射。例：1.C3v群是点操作•有旋转对称轴•旋转任意角度不变，有无限多个操作。•绕轴旋转角度𝜑：32.花瓶∴构成Abel群，称为R(2)群或SO(2)群。（二维旋转对称操作构成的二维旋转群）3.圆球绕过球心的任意转轴旋转任意角度均是对称操作，构成R(3)群或SO(3)群。(三维旋转群)过球心平面的镜面反射也是对称操作，与R(3)群操作联合构成O(3)群。(全正交群)4点操作的特点：设不动的点为坐标原点，则点操作不改变任意两矢量，间的相对位置（数学上称保长、保角变换）。点操作在三维空间中对应一个算符A：；内积：满足此关系的变换满足保长、保角变换。5Oαα由要求即变换算符A是幺正的。三维实空间中，变换A不会将实矢量变成复矢量，∴A是实变换，结合幺正性，表明A是正交算符，对应矩阵为正交矩阵：。由正交变换构成的群称为O群（全正交群）。三维实空间：O(3)群SO(3)群是Specialorthogonalgroup.O(3)=SO(3)Ci,Ci={e,I}6旋转、反射在实空间中对应着正交算符：，，（正交矩阵的性质）7用反证法：假设对某一φ值，则在0~φ之间必有某φm值，其违反，8引理1三维空间中，纯旋转操作对应的正交矩阵的行列式等于1。证明：，φ连续变化，A的矩阵元和行列式也应连续变化。，zO9Cz(φ)1–10𝓐(φ)，由引理1，∴◆含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为–1。正当操作：；非正当操作：。10反演：可视为三元一次线性方程组的久期行列式：11引理2的正交矩阵A对应一个定轴转动。证明：∴可见是A旋转操作的定轴。12由于，该齐次线性方程组必有非零解。设，，构成非零解，定义Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。与类似，有，=？ρ(φ)为φ~φ+Δφ范围内的群元密度。13第二节定轴转动群SO(2)二维量子力学问题：轴对称势场，能量也就具有轴对称性。若（无限小的值）是一个算符，称为无穷小算符。是群元算符，其一阶导数仍然对应一个算符（该算符不一定是无穷小量，起生成元作用）。14为有限值时，可写为n为正整数当时，在具体线性空间中有特定的算符形式，对应一个特定的矩阵。例如：三维实空间中，无穷小角：15是反厄米算符：（∵Cz(φ)是幺正算符、正交算符）假设φ→0，忽略φ2项，有∴定义，有，φ∴由，∴取，，做基矢，确定的矩阵：；该矩阵虽然是奇异的，但对应于群元的表示，不是奇异的。此时1对应单位阵I0(3)。16算符的另一种含义：在一般的函数空间中，基函数为，时：17θ群的不可约表示和特征标系：群是Abel群，不可约表示都是1维的。两边对求导：1819（）即而∴要求不可约表示：特征标：SO(2)群：不同m值对应不同不可约表示，无穷多个。前面，这里，但不能认为，算符≠数。前者为算符、群元，后者为群表示、特征标。20由并考虑到群阶g→∞，ρ(α)=g/2π则有与有限群情况相似。（利用）可见=常数，即是守恒量。21（1）在经典力学中，物体处于二维势场中，如果具有绕z轴旋转对称性，，即（2）在量子力学中：算符在作用下不变，所以为本征函数，是矩阵，也是本征值。两边乘以：可见，旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。所以22可作为SO(2)群不可约表示的基矢，同时也是和的本征函数。对某力学系统，先分析其对称性，若关于某轴旋转对称，则角动量守恒，且态函数中必有因子项。