同济高数课后习题答案全解高等数学同济版第一章一、求下列极限、;解一:原式原式解二:2xlim2、解一:2x13x11原式解二:sin3x~3x2xx1原式xtan2xlim3、解:原式xlim4、原式解一:1解二:原式、原式解一:解二:原式xlimxlim6、解一原式令2t解二:1原式2x)]17、解:原式:、解:原式、原式解:10、解:2663xsinx1sinx1原式11、。解:原式二、求下列导数或微分1、设，求dy解一:解二:dx2x2、设，求解、设，求解4、设，求解:dy5、设，求dx1y解:6、设ye，求dxx解、设，求dy解、设，求解9、设，求解:10、设，求1解、设sinxx3edt，求解12、设，求解，，3三、求下列积分1、解:原式ex2、解:原式、cscx解:原式4、1x221x2解:原式(lnx)3、x14解:原式dx6、解:原式x47、解:原式8、解一:令原式解二:利用原式9、55解:因原式10、1elnxdx1e1解:原式e111、解:原式12、dx2x令解:原式2413、解:原式x3原式x,314、1027解:原式19817272710981115、20sinx3解:2sin3x20令原式20注:上题答案有误，应为(π-1)/4四、微分和积分的应用1、列表讨论下列函数的单调性、凹凸性、极值、拐点:32;(1)解:83由或x=2.由在区间，上递3增;在区间[1,2]上递减。在上是凸的;333在上是凹的。点(2,2)是函数的拐点，函数在处取得极大值2，在处取得极小值1。(2)解:没有的点，存在不可导点在区间上递增;在上是凸的;在上是凹的。点(0,0)是函数的拐点(3)解:33399921由由55当时，y,y不存在‘‘‘在区间上递增，在-，上是凹的;上递减;在区间-在上是凸的。点，是函数的拐点，函数在处取得极大值，在5处32取得极小值32、求函数的极值。x解一:令，得:解二由，得23、在区间[0,1]上给定函数，任取，问t取何值时，曲线、、及y轴所围平面图形面积最大,解:由，得:所以当时所围面积最大。4、求曲线与所围成平面图形的面积，将此平面图形绕y轴旋转一周求所得立体的体积。解:所围面积。0333132旋转所得体积为。5、求曲线与以及x轴所围成平面图形的面积，将此平面图形绕x轴旋转一周求所得立体的体积。。解:所围面积42旋2转32所20得体。积为五、空间解析几何，，1、已知向量，求:(1);(2);(3);(4)。解:(1)-2a=-2(2,3,-1)=(-4,-6,2),3b=3(1,-3,1)=(3,-9,3),所以:-。(2)-3,-9),所以:。(3)-1)+(1,-3,1)=(3，，0)，-3,1)+(1,-2,0)=(2,-5,1),所以:-8(1,-2,0)=(--1).(1,-2,0)=-(4)--3,1)=--4(1,-3,1)=(-4,12,-4?)，,所以:-8,16,0)-(-4，12，-4)=(-4,4,4).2、已知点，，C(0,2,3)，求:(1)AB在y轴上的投影，在z轴上的分向量;(2)求的面积;(3)设，若，取何值,(4)求过点A、B、C的平面方程;(5)求过点A且与BC平行的直线方程。解:(1)AB=(-3,4,-6),所以AB在y轴上的投影为4，在Z轴上的分向量为:-6k。(2)|AB|||sinθ=1/2|AB×因为:AB=(-3,4,-6),AC=(-2,3,-1),所AC|,以:(3)因为AB=(-3,4,-，由可知.AB=0,即:(-3,4,-所以:(4)由(2)知:(14,9,-1).由平面的点法式得:14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,即:14x+9y-z-15=0.(5)=(1，-1，5),所以由直线的点向式得:x-2=-(y+1)=5.、求过点且通过直线的平面方程。解:设所求平面方程的法向量为n，平面上两点A(3，1，-2)，B(4，-3，0)，a=(2，1，3)，因为所求平面方程通过，213则点B和向量在所求平面上且=AB×a，即:(,14,1,9)，由平面方程的点法式得所求平面方程为:14(x-3)-(y-1)-9(z+2)=0,即:14x-y-9z-59=0.、设，，其中且，试问:(1)为何值时，;(2)为何值时，c与d为邻边的平行四边形的面积为6。解:，又因为，故。(2)c与d为邻边的平行四边形的面积为:，因为，，故或,1。，又因为2七、综合题设，证明x证明:设，则，xxxf(x)在上连续，且当时，，所以f(x)在上单调增加。由于所以当时，即1故得所要证明得不等式2.设，证明e证明:设，则，xf(x)在上连续，且当时，，所以f(x)在上单调增加由于所以当时，即故得所要证明得不等式arctanx3.设，证明x4.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b),(2)在(a,b)上可导,3)(由罗尔定理，存在一点使得即5.设f(x)在上连续，在在上可导,(3)由罗尔定理，存在一点使得即6.设函数f(x)连续，且解:求F(x)‘又因为函数f(x)连续，且所以即设函数求a、b的值，使f(x)在可导。解:显然函数在连续，所以即又函数在可导，所以即，，所以f(x)在所以当时，可导。18、设f(x)在[0,1]上连续，，求证:存在使得证明:所以由积分中值定理知:存在使得:即:
