不等式的应用（2）——最值问题·教案VIP免费

不等式的应用（2）——最值问题·教案教学目标1．深刻理解不等式中，两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一定理，即平均值定理．2．熟练应用平均值定理，求某些问题的最值．3．培养学生严谨的思维品质，以及对数学思想方法的理解和运用，提高学生灵活运用所学知识解决问题的能力．教学重点与难点平均值定理适用的条件，及其变形使用．教学过程设计（一）不等式平均值定理的功能师：不等式平均值定理的内容是：若干个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．即：如果a1，a2，a3，…，an∈R+且n∈N+，n＞1，那么在高中阶段，我们只要求同学掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．请同学用数学表达式表示上述定理．（教师板书）师：由两个不等式的结构来看，它们的功能是：从左往右可以把和的形式缩小为积的形式；从右往左可以把积的形式扩大为和的形式．为了使用方便，通常把不等式变形为由于平均值定理在特殊形式下，可以进行放缩变换，因而它在数学中，可以作为用综合法证明不等式的依据，还可以作为求最值问题的工具．今天，我们主要研究应用平均值定理求最值的问题．（二）应用平均值定理求函数的最值例1当0＜x＜2时，求函数y=x（2-x）的最大值．师：函数y=x（2-x）是积的形式，求最大值实质是要做什么样的转化？生：可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式．师：平均值定理是对正数而言的，由于x，2-x都是正数，所以在什么条件下“≤”取“=”号？生：当且仅当x=2-x，即x=1时，取等号．此时，y的最大值为1．师：把积的形式化为和的形式，这个和应该为定值才行．从而求出最小值．（教师板书）解：由x＞1，知x-1＞0．则中等号成立．所以当x=2时，y的最小值为6．师：运用平均值定理求函数的最值时，必须要有和的定值或积的定值出现．即①，当且仅当a=b时．取“=”号．（定值）②，当且仅当a=b=c时，取“=”号．不等式①②可以在求函数的最大值时使用．③，当且仅当a=b时，取“=”号．值）④，当且仅当a=b=c时，取“=”号．不等式③，④可以在求函数的最小值时使用．例2中对函数式的运算结构稍做变化，就可以使用定理了．例3填空题：师：请同学来分析（1）．生甲：由于x＞0，则生乙：我的做法与甲同学不一样．由于x＞0，则师：甲、乙两位同学对函数式的变形采取了不同的方法，但都得到了定积，谁是谁非呢？师：分析的很好！在拆、凑函数式的时候，除了要考虑能否得到“定积”或“定和”以外，还要顾及使用平均值定理后，能否取“=”号．这一条件如果思维不严密，就会出现错误．由学生自己解（2）．（板书如下）y=x2·（5-2x）=x·x·（5-2x）如果学生的板书有漏洞或错误，教师可以边纠正，边总结应用平均值定理求函数最值的步骤．如果学生板书没有问题，教师可以请学生总结步骤．并进行适当的引导或补充．应用平均值定理求函数的最值，要注意的问题有：（1）函数式中诸元素是否为正数；（2）诸元素的和或积是否为定值；（3）判断“=”是否成立．（三）灵活运用平均值定理求最值师：此题为三角函数求最值的问题，应从何处入手？用平均值定理求最大值，但sinx+cos2x不是定值，因此，应从配、凑和为定值入手．师：函数式中涉及到正、余弦两种三角函数，可以利用同角的平方关系进行转化．（2sin2x+cos2x+cos2x）为定值；即可求出y2的最大值．师：对函数式的变形是灵活多样的，但宗旨都是使和或积为定值．例5若正数x，y满足6x+5y=36，求xy的最大值．教师可以先让学生进行讨论，然后再请一位同学发言．生：已知是两正数和的等式．要求两数积的最大值，可以由（板书如下）解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以当且仅当6x=5y时，取“=”号．师：函数式中含有根式，不容易看出定积是否存在，用什么方法解决这个问题？生：可以先用换元法把根式去掉，再把函数式进行转化．师：换元法是常用的数学思想方法，能帮助我们把复杂问题简单化．（四）不等式在应用问题中的应用例7已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．师：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要...