2．1.2向量的加法沈阳四中蒋静2．向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的指向第二个向量的的向量．起点终点重点：向量加法的运算(三角形法则，平行四边形法则)及其几何意义．难点：对向量加法法则的理解．1．向量加法的三角形法则(1)方法与步骤：第一步：将b(或a)平移，使一个向量的始点与另一个向量的终点相连；第二步：将剩下的始点与终点用有向线段相连，且有向线段的方向指向终点．则该有向线段表示的向量即为向量的和．也称：“首尾相连，连首尾”．(2)图示：如下图所示2．向量加法的平行四边形法则(1)方法与步骤：第一步：先把两已知向量a与b的始点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形．则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为a与b的和．(2)图示：如图所示3．学习中应注意的问题(1)两个向量的和仍然是一个向量；(2)向量的加法与数的加法是不同的．利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量．(3)对于向量求和的三角形法则与平行四边形法则，要注意它们的应用条件．当两个向量不共线时，它们是一致的．但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了．向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．(4)向量加法适合交换律和结合律，这两个运算律可以推广到多个向量的加法运算．(5)据多边形法则易得，对于多边形A1、A2、A3、…、An有A1A2→＋A2A3→＋…＋An－1An＝A1An→；A1A2→＋A2A3→＋…＋An－1An＋AnA1→＝0.(6)向量的三角形不等式：对于任意两个向量a、b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.[例1]化简下列各式：(1)PB→＋OP→＋OB→；(2)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→.[分析]求向量的和要考虑用向量加法的运算法则和运算律．[解析](1)PB→＋OP→＋OB→＝(OP→＋PB→)＋OB→＝OB→＋OB→＝2OB→；(2)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋MB→)＝AO→＋OB→＝AB→.[点评]求和的关键是利用三角形法则，将“首尾连接”的两个向量分在一组．向量加法运算出现零向量时不要将其写成0.在正六边形ABCDEF中，AB→＝a，AF→＝b，用a，b表示向量AC→，AD→，AE→.[分析]用向量a，b表示AC→，AD→，AE→，要利用正六边形的性质，用平行向量、相等向量的知识和向量加法的运算法则求解．[解析]如图，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有AO→＝AB→＋AF→＝a＋b.故有AD→＝2AO→＝2a＋2b.在平行四边形ABCO中，AC→＝AB→＋AO→＝a＋a＋b＝2a＋b，而BC→＝AO→＝a＋b＝FE→，由三角形法则得：AE→＝AF→＋FE→＝b＋a＋b＝a＋2b.[例2]证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．[分析]要证明四边形是平行四边形，只需证明一组对边平行且相等即可．而且向量证明，只需证明一组对边对应的向量相等即可．[解析]如图，设四边形ABCD的对角线AC与BD交于O，且AO＝OC，DO＝OB.由向量加法的三角形法则知，AB→＝AO→＋OB→，DC→＝DO→＋OC→，又AO→＝OC→，DO→＝OB→，所以AB→＝DC→，即AB＝DC且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形．命题得证．[点评]利用向量的加法可以证明线段相等和平行．用向量法证明几何问题的关键是把几何关系转化为向量关系，通过向量运算得到结论，然后再把向量关系还原为几何关系．注意：得出AB→＝DC→后不可直接下结论，因为AB→∥DC→与AB∥DC不同，AB→∥DC→包含直线AB与DC平行或重合两种情况．在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，AD为BC边上的中线，G为△ABC的重心，则AG→＝________.[答案]23a＋13b[解析]如图所示，AG→＝23AD→＝23(AB→＋BD→)＝23AB→＋12BC→＝23a＋13b.[例3]轮...
