第18讲巧解最大公约数与最小公倍数问题巧点晴——方法和技巧任取几个非零数，它们都会有很多相同的约数，也会有一些相同的倍数。相同约数中最小的一检点总是1，最大的一个就是它们的最大公约数；而零则是每个非零整数的倍数，这些数的相同倍数中没有最大的，最小的一个就是它们的最小公倍数。巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴【例1】一张长方形的纸，长7公米5厘米、宽6分米。现在要把它裁成面积相等的正方形，而且正方形边长为整厘米数，问：有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，问：可以裁成多少块？分析与解7分米5厘米=54厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75厘米和60厘米，所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1，3，5，15，所以有4种裁法。如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长。所以可以裁成（75÷15）×（60÷15）=20（块）。答：有4种裁法，共能裁成20块。做一做1将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，问：小正方形的面积最大是多少？【例2】甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问：至少再过多少天，他们三人又会在图书馆相会？分析与解从第一次三人在图书馆相会到下一次再相会，相隔的天数应该是3，4，5的最小公倍数，因为3，4，5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又会在图书馆相会。答：至少再过60天，他们三人又会在图书馆相会。做一做2五年级一班的同学每周一都要去看望军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天这三个班的同学会再次同一天去张爷爷家？【例3】把26，33，34，35，63，85，91，143这8个数分成若干组中任意两个数的最大公约数都是1。那么，至少要分几组？分析与解26=2×1333=3×1134=2×1735=5×763=9×785=5×1791=7×13143=11×13这8个数每个都有两个质因数，要使其中每两个数的最大公约数都为1，则同一质因数最多只能在一个组中出现1次。现在，35，63，91这三个数中都有质因数7；26，91，143这三个数中都有质因数13。因此，至少要分3组，才有可能把这两组数分开。现取26，33，35为一组，34，63，143为一组，91，85为一组。同组的数中，每两个数的最大公约数都为1。答：至少要分3组。做一做3把下面几个数平均分成两组，使第一组数的乘积与第二组数的乘积相等。14，33，35，30，75，39，143，169B级培优竞赛·更上层楼【例4】从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？分析与解由于847的两倍比2002小，因此，开始时的长方形纸片上，可以连剪两个边长为847的正方形。2002=847×2＋308剩下的部分是长、宽分别为847与308的长方形，依此类推有：847=308×2＋231，308=231×1＋77，231=77×3也就是说，当剩下长为231，宽为77的长方形时，刚好可以剪成三个边长为77的正方形。所以，最后剪得的正方形边长是77毫米。上面的过程可以用辗转相除法来表达。答：最后剪得的正方形的边长为77毫米。做一做4用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没剩余。问：这些正方形的边长最长是多少？【例5】两个自然数的和为50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是多少？分析与解由于这两个数的公约数是5，所以它们都是5的倍数，本题也就是要把50分成两份，这两份的最大公约数是5。分析与解因为50=5＋45=10＋40=15＋35=20＋30=25＋25，但（5，45）=5，（15，35）=5，而（10，40）=40，（20，30）=10，（25，25）=25，所以，这两个数可能是5与45，也可能是15与35。答：这两个数的差为40或20。做一做5两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，问：这两个数是多少？【例6】在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，问：木棍总共被锯成...
