【精品】五年级下册数学试题：培优专题讲练：第6讲巧用容斥原则人教版VIP免费

第6讲巧用容斥原理方法和技巧(1)当两个计数部分有重复时，为了不重复地计数，应从它们的和中减去重复部分：nA+nB－nAB。(2)如果采用三种不同的分类标准，性质A的事物有nA个，性质B的事物有nB个，性质C的事物有nC个，那么物体的总个数为（nA+nB+nC）－（nAB+nBC+nCA）+nABC例题精讲A级基础点睛【例1】某班40名同学都在做语文和数学作业，其中，26人做完了语文作业，18人做完了数学作业。现在已有5人两门作业都做完了，求这两门作业都没有做完的有多少名同学。分析与解我们可以先求出做完了语文作业和做完了数学作业的人数和，然后减去两门都做完的5人，得到至少做完一门作业的人数，最后从40名学生中减去至少做完一门作业的同学，就求出了两门作业都没有做完的同学。26+18－5=39（人）40－39=1（人）答：有1人两门作业都没有做完。做一做136个学生在回答两个问题时，答对第一题的有23人，答对第二题的有25人，两题都答对的有14人，问：两题都没有答对的有多少人？【例2】在1到100的自然数中，能被5或被7整除的数共有多少个？解因100÷5=20，故1到100之中有20个数是5的倍数；因100÷7=14余2，故1到100之中有14个数是7的倍数；又因100÷35=2余30，故1到100之间有两个数是35的倍数。注意到一个数是35的倍数时，它既是5的倍数，又是7的倍数，由包含排除法得20+14－2=32，故在1到100之中共有32个数是5的倍数或是7的倍数。做一做2在1到500这500个数中，既不是完全平方米，又不是立方数的数共有多少个？【例3】线段a长120毫米，小明把它平均分成8份后，小娟再把它平均分成12份。这时，线段a上一共有多少分点？解把a平均分成8份时，每份长120÷8=150（毫米），a上有8－1=7（个）分点；因15×2=30（毫米），15×4＝60（毫米），15×6＝90（毫米），所以，两次平均分线段a时，共有3个分点是重复的。根据包含排除法，a上的分点数一共有7＋11－3＝15（个）做一做3线段AB长18厘米，丁丁把它平均分为9份之后，英英又把它平均分布6份。这时，线段AB内一共有多少个分点？【例4】延秀小学的318名学生到“儿童乐园”活动。其中参加划船的有156人，乘电动飞机的有196人，坐碰碰车的130人；既参加划船又坐碰碰车的人74人，既参加划船又乘电动飞机的有80人，既乘电动飞机又坐碰碰车的有40人。问：三种活动都参加的有多少人？分析与解图1中集合A，B，C两两合成一个集合N，集合N中元素的个数是：集合A，B，C的元素个数之和减去集合A，B，C两两合成的公共部分的元素个数，再加上集合A，B，C的公共部分元素的个数，即N=A+B+C―AB―BC―AC+ABC根据题意，图2中阴影部分表示三种活动都参加的人数，三种活动都参加的人数有318―(156+196+130―80―40―74)=318―288=30(人)答：三种活动都参加的人有30人。做一做4某班50名学生手中分别拿红、黄、蓝三种旗做游戏。已知34人手中有红旗，26人手中有黄旗，18人手中有蓝旗，15人手中有红、黄两种旗，10人手中有黄、蓝两种旗，9人手中有红、蓝两种旗。求手中有红、黄、蓝三种旗的有多少人？B级培优竞赛更上层楼【例5】某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表，求这个班的学生人数。短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球1718156652分析与解先求至少有一个项目达到优秀的学生人数。右图中3个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数。其中A表示三个项目都达到优秀的人数是A=2（人）B表示篮球、游泳达到优秀，但短跑没有达到优秀的人数是B=6－2=4（人）C表示篮球、短跑达到优秀，但游泳没有达到优秀的人数是C=5－2=3（人）D表示游泳、短跑达到优秀，但篮球没能达到优秀的人数是D=62=4（人）E表示只有短跑一项达到优秀的人数是E=17（2+3+4）=8（人）F表示只有游泳一项达到优秀的人数是F=18（（2+4+4）=8（人）G表示只有篮球一项达到优秀的人数是G=15－（2+4+3）=6（人）所以，至少有一个项目达到优秀的人数是2+4+3+4+8+8+6=35（人）还有4个人在三个项目上都没有达到优秀，所以全班人数是35+4=39（人）答：这个...