专题7空间向量的应用【高考趋势】空间向量是解决立体几何问题的重要工具，利用空间向量运算可以判断立体几何中的线线、线面、面面之间位置关系（主要是平行与垂直），可以利用直线的方向向量、平面的法向量求异面直线所成的角，以及直线与平面所成的角和两个平面所成的二面角，还可以求点到平面的距离。空间向量的知识不仅为我们提供了解决立体几何中定量计算（主要是求角和距离）的方法，也为解决立体几何中的定性分析（主要是平行与垂直的证明）提供了新的方法。可以预测用向量方法求解立体几何问题在数学高考理科选修部分将会有所体现。【考点展示】1、设点A(0,-1,2)，B（2，4，1），则直线AB的一个方向向量是。2、已知向量a，b满足|a|=3，|b|=4，a与b的夹角是1200，则|a+2b|=。3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN=900，则∠PMN的大小是4、点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C（1，-1，5）为空间三点，若向量n分别与向量AB，AC垂直，且|n|=3，则向量n的坐标为5、正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM所成的角是。【样题剖析】例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F。（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD。用心爱心专心1例2、如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0θ2）（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；（2）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。例3、如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=900，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=1200，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为600。（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M-AC-B的余弦值；（3）求三棱锥P-MAC的体积。【总结提炼】用空间向量处理某些立体几何问题，可以为我们提供处理立体几何问题新的视角，特别是引入空间直角坐标系及其空间向量运算，沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要数学思想，为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，如何选择基向量或建立适当的空间直角坐标系，灵活选择向量方法，特别是用好直线的方向向量和平面的法向量，把空间求角、求距离问题转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角、投影问题是解决立体几何问题的关键所在。用心爱心专心2【自我测试】1、已知|p|=22，|q|=3，p与q的夹角为4，则以a=5qp2,b=qp3为邻边的平行四边形的较短的对角线长为2、已知O（0，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），C（0，1，1），则异面直线OA与BC所成的角的大小为3、在正方体AC1中，M为棱DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM所成的角的度数是。4、已知ABC-A1B1C1是各条棱长均等于的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为5、已知a=（-4，3，0），则与a垂直的单位向量b0=6、设、是重合的两个平面，它们的法向量分别为m，n，直线l的方向向量为e，若e∥m，e∥n，则与的位置关系为7、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为。8、E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中线段A1D，AC上的点，且DE=AF=AC31。求证：（1）EF∥BD1；（2）EF⊥A1D。用心爱心专心39、四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2，BC=22，SA=SB=3。（1）证明：SA⊥BC；（2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。10、如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=3AD。（1）设E是棱PB上一点，过点A，D，E的平面交棱PC于F，求证：BC∥EF；（2）求二面角A-PB-D的余弦值；（3）试确定点E的位置，使PC⊥平面ADFE，并说明理由。用心爱心专心4
