第2讲数系的扩充与复数的引入[考纲解读]1.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.(重点)2.了解复数的代数表示法及几何意义,能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.3.能进行复数形式的四则运算,并了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看,本讲在高考中属于必考内容.预测2020年将会考查:①复数的基本概念与四则运算;②复数模的计算;③复数的几何意义.题型为客观题,难度一般不大,属于基础题型.1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的,即(1)复数z=a+bi复平面内的点□Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ.3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=□z2+z1,(z1+z2)+z3=□z1+(z2+z3).(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意z1,z2,z3∈C,有z1·z2=□z2·z1,(z1·z2)·z3=□z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=□z1z2+z1z3.(4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是□OZ1+OZ2所对应的复数.②复数减法的几何意义:复数z1-z2是□OZ1-OZ2即Z2Z1所对应的复数.4.模的运算性质:①|z|2=||2=□z·;②|z1·z2|=□|z1||z2|;③=□.1.概念辨析(1)关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R且a≠0)一定有两个根.()(2)若复数a+bi中a=0,则此复数必是纯虚数.()(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案D解析===2-i.故选D.(2)(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析设复数z=====+i,所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.(3)(2018·华南师大附中一模)在复平面内,复数z=cos3+isin3(i为虚数单位),则|z|为()A.4B.3C.2D.1答案D解析|z|==1.(4)设复数z1=2-i,z2=a+2i(i为虚数单位,a∈R),若z1z2∈R,则a=________.答案4解析因为z1z2=(2-i)(a+2i)=2a+2+(4-a)i,且z1z2是实数,所以4-a=0即a=4.题型复数的有关概念1.设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=()A.-1B.1C.-2D.2答案C解析因为m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,所以解得m=-2.2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4答案A解析因为(1+i)+(2-3i)=3-2i=a+bi,所以a=3,b=-2.3.(2018·合肥一检)设i为虚数单位,复数z=的虚部是()A.B.-C.1D.-1答案B解析复数z===-i,则z的虚部为-.4.(2018·全国卷Ⅰ)设z=+2i,则|z|=()A.0B.C.1D.答案C解析因为z=+2i=+2i=+2i=i,所以|z|==1,故选C.有关处理复数基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关,所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部,即转化为a+bi(a,b∈R)的形式,再从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.1.(2019·安徽安庆模拟)设i是虚数单位,如果复数的实部与虚部相等,那么实数a的值为()A.B.-C.3D.-3答案C解析=,由题意知2a-1=a+2,解得a=3.故选C.2.已知集合A=N,B={x∈R|z=3+xi,且|z|=5}(i为虚数单位),则A∩B=________.答案{4}解析因为|z|==5,所以x=±4,所以B={-4,4},所以A∩B={4}.3.(2017·浙江高考)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=________,ab=________.答案52解析因为(a+bi)2=a2-b2+2abi.由(a+...