第2节基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).[微点提醒]1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤≤.3.≤≤≤(a>0，b>0).基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sinx＋的最小值为4.()(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.()解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f(x)＝sinx＋没有最小值.(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修5P92练习1T1改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为()A.9B.18C.36D.81解析因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.答案A3.(必修5P91例3改编)若x<0，则x＋()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2解析因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.答案D4.(2019·合肥一中月考)已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为()A.B.C.－1D.0解析f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.又1∈，所以f(x)在上的最小值为0.答案D5.(2018·济宁一中月考)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.解析设矩形的长为xm，宽为ym.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.答案156.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.解析由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.答案考点一利用基本不等式求最值多维探究角度1通过配凑法求最值【例1－1】(2019·乐山一中月考)设0
0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．解析由题设可得＋＝1， a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8.故2a＋b的最小值为8.答案8规律方法在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】(1)(2019·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为()A.2B.C.4D.(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为______.解析(1)因为a>0，b>0，故2a＋b≥2(当且仅当2a＝b时取等号).又因为2a＋b＝4，∴2≤4⇒00，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.答案(1)B(2)1考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，...
