4.1.1实数指数幂及其运算课标解读课标要求核心素养1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(重点)3.掌握根式与分数指数幂的互化.(重点、易错点)4.掌握有理指数幂的运算性质.(重点、难点)1.通过根式与分数指数幂互化的学习,培养数学运算的核心素养.2.通过利用指数式的条件解决求值问题,提升逻辑推理的核心素养.公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希帕索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线的长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数表示,希帕索斯的发现使数学史上第一个无理数❑√2诞生了.问题:若x2=3,则这样的x有几个?它们叫做3的什么?如何表示?答案这样的x有2个,它们都称为3的平方根,记作±❑√3.1.有关幂的概念一般地,an中的a称为①底数,n称为②指数.2.根式的相关概念和性质(1)根式的概念:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则③x称为a的n次方根;当n√a有意义的时候,④n√a称为根式,n称为⑤根指数,a称为⑥被开方数.(2)根式的性质:(i)(n√a)n=⑦a.(ii)n√an={a,n,为奇数|a|,n.为偶数思考1:类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?提示a为正数:{n,为奇数时a的n,次方根有一个为n√a,n,为偶数时a的n,次方根有两个为±n√a.a为负数:{n,为奇数时a的n,次方根只有一个为n√a,n,为偶数时a的n.次方根在实数范围内无意义零的n次方根为零,记为n√0=0.3.分数指数幂(1)定义:一般地,如果n是正整数,那么:当n√a有意义时,规定a1n=⑧n√a;当n√a没有意义时,称a1n没有意义.(2)意义:分数指数幂正分数指数幂a1n=n√a(a>0),amn=(n√a)m=⑨n√am(a>0,m,n∈N*,且mn为既约分数)负分数指数幂a-s=⑩1as(as有意义且a≠0)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)运算法则:(i)前提:s,t为任意有理数.(ii)法则:asat=as+t;(as)t=ast;(ab)s=asbs.思考2:分数指数幂的运算性质是什么?提示分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆分数指数幂的运算性质的口诀:乘相加,除相减,幂相乘.4.实数指数幂一般地,无理指数幂at(a>0,t是无理数)是一个确定的实数,有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂at都有意义,对任意实数s和t,类似有理指数幂的运算法则仍然成立.探究一n次方根的化简与求值例1(易错题)化简:(1)4√(3-π)4;(2)(❑√a-1)2+❑√(1-a)2+3√(1-a)3(a-1≥0).解析(1)4√(3-π)4=|3-π|=π-3.(2)原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.易错点拨n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范围n为奇数n√aa∈Rn为偶数±n√a[0,+∞)1.已知-30)B.6√y2=y13(y<0)C.x-34=4√(1x)3(x>0)D.x-13=-3√x(x≠0)(2)用指数幂的形式表示❑√y2x❑√x3y(x>0,y>0).答案(1)C解析(1)A选项,-❑√x=-x12(x>0);B选项,6√y2=(y2)16=-y13(y<0);C选项,x-34=(x-3)14=4√(1x)3(x>0);D选项,x-13=3√1x(x≠0).故C正确.(2)解法一:由里向外化为分数指数幂.❑√y2x❑√x3y=❑√y2x(x3y)12=(y2x·x32y-12)12=x14y34.解法二:由外向里化为分数指数幂.❑√y2x❑√x3y=(y2x❑√x3y)12=[y2x·(x3y)12]12=(y2x)12·(x3y)14=x14y34.思维突破(1)记结论:amn=n√am和a-mn=(1a)mn=1n√am(a>0).(2)明途径:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.2.化简:(1)❑√a❑√a(a>0);(2)(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56).解析(1)❑√a❑√a=❑√a·a12=❑√a32=(a32)12=a34.(2)原式=[2×(-6)÷(-3)]a23+12-16·b12+13-56=4ab0=4a.探究三指数幂的化简与求值例3已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.解析 (x+x-1)2=x2+x-2+2,∴x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7.思维突破式子中包含的指数互为相反数时,通常用平方法进行解决,平方后观察条件和结论的关系,变形求...
