第2讲不等式的证明一、知识梳理1．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．常用结论基本不等式及其推广1．a2≥0(a∈R)．2．(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，≥ab，a2＋b2≥(a＋b)2.3．若a，b为正实数，则≥.特别地，＋≥2.4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.二、教材衍化求证：＋<2＋.证明：＋<2＋⇐(＋)2<(2＋)2⇐10＋2<10＋4⇐<2⇐21<24.故原不等式成立．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．()(3)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．()答案：(1)×(2)√(3)×二、易错纠偏不等式放缩不当致错.已知三个互不相等的正数a，b，c满足abc＝1.试证明：＋＋<＋＋.证明：因为a，b，c>0，且互不相等，abc＝1，所以＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋，即＋＋<＋＋.用综合法、分析法证明不等式(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明：(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．1．若a，b∈R，ab>0，a2＋b2＝1.求证：＋≥1.证明：＋＝＝＝－2ab.因为a2＋b2＝1≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以0
－1，所以－1时，不等式化为2x＋1＋2x－1<4，即x<1，所以n(k＝1，2，…，n)，得≤<.当k＝1时，≤<；当k＝2时，≤<；…当k＝n时，≤<，所以＝≤＋＋…＋<＝1.所以原不等式成立．反证法证明不等式(师生共...
