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第1讲绝对值不等式一、知识梳理1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．常用结论1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立．(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．2．解绝对值不等式的两个要点(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”．二、教材衍化1．求不等式3≤|5－2x|<9的解集．解：由题意得即解得不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．2．求不等式|x＋1|＋|x－2|≤5的解集．解：不等式|x＋1|＋|x－2|≤5，等价于或或解得－2≤x≤3，所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.()(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()答案：(1)×(2)√(3)√二、易错纠偏(1)解集中等号是否成立不注意；(2)含参数的绝对值不等式讨论不清．1．不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集．解：不等式等价于或或解得0≤x≤5，故不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集为[0，5]．2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，求实数k的值．解：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.含绝对值不等式的解法(师生共研)(2020·安徽安庆质量检测)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x，由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，当x>1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0；当x<－时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－.所以不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．(2)由|x－a|＋3x≤0，可得或即或当a>0时，不等式的解集为{x|x≤－}．由－＝－1，得a＝2.当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．当a<0时，不等式的解集为.由＝－1，得a＝－4.综上，a＝2或a＝－4.含绝对值不等式解法的常用方法设函数f(x)＝|x＋4|.求不等式f(x)>1－x的解集．解：f(x)＝|x＋4|＝所以不等式f(x)>1－x等价于解得x>－2或x<－10，故不等式f(x)>1－x的解集为{x|x>－2或x<－10}．绝对值不等式性质的应用(师生共研)(2020·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f()≥4.【解】(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，等价于或或解得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f()＝|－2x－1|＋|－1|，因为|－2x－1|＋|－1|≥|2x＋|＝2|x|＋≥4，当且仅当，即x＝±1时等号成立，所以f(－x)＋f()≥4.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．(2020·陕西省五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1.解：(1)因为f(x)<|x|＋1，所以|2x－1|<|x|＋1，即或或得≤x<2或0

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