图1含角的直角三角形的性质教学目标:⒈经历猜测、验证的过程,理解含锐角直角三角形的性质。⒉学会应用含锐角直角三角形的性质解决线段之间倍半关系的问题。教学重点:含角的直角三角形的性质的发现与应用教学难点:⒈含角的直角三角形性质的探索与证明;⒉引导学生全面、周到地思考问题。教学方法:探索发现法教学工具:两个全等的含角的三角尺;圆规教学过程:一、回顾与思考1.等边三角形有哪些性质?如何判定一个三角形是等边三角形?2.问题情境:为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得钭坡与水平面所成的角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?这个问题实际上可以归结为:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,求AB(如图1)。这个问题解决的关键是寻找:之间的关系。二、自主探究:[活动1]⒈我们学习过直角三角形,直角三角形的角之间都有什么数量关系?今天,我们先来看一个特殊的直角三角形,看它的边具有什么性质⒉用你的30°角的直角三角尺,把斜边和30°角所对的直角边量一量,你有什么发现?[活动2]⒈请同学们准备好两个全等的含角的直角三角形,把相等的边拼在一起组成平面图形,有几种拼法?⒉探究:在这些图形中,轴对称图形有个,其中三角形有个,1ABDCCBA各是一个怎样的三角形?说说你的理由。[活动3]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗?⒈在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所角所对的直角边等于斜边的一半。其条件和结论分别是什么?如何用数学符号来表达?如何证明?已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°∠BAC=30°求证:BC=1/2AB证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60°。延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如下图) ∠ACB=90°,∴∠ACD=90°. AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).∴BC=BD=AB.该性质适用范围是什么?运用该性质可求什么?三、含300角的直角三角形的性质:⒈定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所角所对的直角边等于斜边的一半。注:定理满足的条件:⑴直角三角形;⑵有一个锐角等于30°;数学语言:;线,则。2CADBABECDABECDABC作用:计算和证明线段的倍分。证明的方法:倍分法。逆命题成立吗?在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°,(请同学们课后验证)⒉逆定理:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°注:数学语言:四、例题评讲:例1、如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°CD⊥AB,AB=4,则BC=,∠BCD=,BD=例2、如图1,∠ABC=30°,AC⊥BC,AB=4cm,(1)求AC的长,如图2,若D是AB中点,连结DC,求DC的长(2)如图3,若D是AB中点,DE⊥BC,求DE的长如图1如图2如图3例3、如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BC、DE要多长?分析:观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于∠A=30°,所以DE=1/2AD,BC=AB,又由D是AB的中点,所以DE=AB.3BAECD解: DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=AB,DE=AD,∴BC=×7.4=3.7(m).又 AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.追问:(1)若D变成AB上使CD⊥AB于D的点,其它条件不变,如图a,你能分解出30°角的直角三角形吗?求出那些线段的长?(2)如图a,BD与AB有何数量关系,此结论与AB的长度有关吗?(课后讨论)五、习题选练:⒈下列结论正确的是()⑴在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所所对的直角边等于另一直角边的一半.⑵在一个三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所角所对的直角边等于斜边的一半⑶在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.⑷在一个直角三角形中,直角三角形的斜边是最小的直角边的2倍A.(1)、(2)B.(3)、(4)C.(1)、(3)D.(2)、(4)⒉填空: Rt△ACB中,∠C=90°,∠A=30°,∴BC=()⒊Rt...