第2讲数列通项与求和[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019等比数列求和·T14等比数列的通项公式等差数列的求和·T18等比数列的通项公式·T6等差数列的通项公式及求和·T18等差数列的通项公式及求和·T142018数列的递推关系、等比数列的判定及计算·T17等差数列的通项公式、前n项和公式及最值·T17等比数列的通项公式、前n项和公式·T172017等比数列的通项公式与前n项和公式、等差数列的判定·T17等差、等比数列的通项公式及前n项和公式·T17数列的递推关系及通项公式、裂项相消法求和·T171.考查(1)已知数列某些基本量或某些特征，求通项公式.(2)数列求和(等差(比)数列的前n项和公式、裂项相消、错位相减等).(3)解不等式，求范围(最值)问题.2.近三年高考考查数列多出现17(或18)题，试题难度中等，2020年高考对数列考查仍以中档为主，数列题目难度有可能加大，应引起重视.求数列通项公式[例1](1)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，当n≥2时，Sn－1＋1＝an，则a8＝________.(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________.[解析](1)当n＝2时，S1＋1＝a2，即a2＝2.当n≥2时，相减得an＋1＝2an，又a1＝1，所以a2＝2a1.所以数列{an}构成一个等比数列，所以a8＝a2·q6＝2×26＝128.(2)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝，又n＝1时，a1＝2适合上式，从而{an}的通项公式为an＝.[答案](1)128(2)[解题方略]1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.2.形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列.[跟踪训练]1.已知Sn是数列{an}的前n项和，且log5(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________.解析：由log5(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝5n＋1，所以Sn＝5n＋1－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4×5n；当n＝1时，a1＝S1＝24，不满足上式.所以数列an的通项公式为an＝答案：an＝2.已知首项为2的数列{an}满足an＋1(2n－1)＝an(2n＋1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________.解析：因为an＋1(2n－1)＝an(2n＋1)(n∈N*)，且a1＝2，所以＝，得an＝a1×××…×＝2×××…×＝4n－2.答案：4n－2数列的求和题型一分组转化求和[例2]已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列{bn－an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn－an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.[解](1)设{an}的公差为d，因为a2＝3，{an}前4项的和为16，所以解得所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.设{bn－an}的公比为q，则b4－a4＝(b1－a1)q3，因为b1＝4，b4＝88，所以q3＝＝＝27，解得q＝3，所以bn－an＝(4－1)×3n－1＝3n.(2)由(1)得bn＝3n＋2n－1，所以Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝＋＝(3n－1)＋n2＝＋n2－.[解题方略]求解此类题的关键：一是会“列方程”，即会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量；二是会“用公式”，即会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式；三是会“分组求和”，观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列；四是会“用公式法求和”，对分成的各个数列的求和，观察数列的特点，一般可采用等差数列与等比数列的前n项和公式求和.题型二裂项相消求和[例3](2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn≥成立的n的最小值.[解](1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N)，∴数列{}为等差数列，又＝＝1，∴＝n，即Sn＝n2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又a1＝1也满足上式，∴an＝2n－1.(2)由(1)知，bn＝＝，∴Tn＝＝＝.由Tn≥得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，∴n≥5，∴n的最小值为5.[解题方略]求解此类题需过“三关”：一是定通项关，即会...
