第4讲基本不等式基础知识整合1．重要不等式a2＋b2≥□2ab(a，b∈R)(当且仅当□a＝b时等号成立)．2．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：□a>0，b>0；(2)等号成立的条件：当且仅当□a＝b时等号成立；(3)其中叫做正数a，b的□算术平均数，叫做正数a，b的□几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当□x＝y时，x＋y有□最小值2.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当□x＝y时，xy有□最大值.(简记：“和定积最大”)常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2(a>0，b>0)；(2)ab≤2(a，b∈R)；(3)2≤(a，b∈R)；(4)＋≥2(a，b同号)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.1．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为()A.1B.C.D.答案B解析 a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选B.2．(2019·山西模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()A.B.4C.D.5答案C解析y＝(a＋b)＝≥.故选C.3.(－6≤a≤3)的最大值为()A.9B.C.3D.答案B解析当a＝－6或a＝3时，＝0；当－6
2)的最小值为6，则正数m的值为________．答案4解析 x>2，m>0，∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x＝2＋时取等号，又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m＝4.5．(2019·大连模拟)函数y＝2x＋(x<0)的最大值为________．答案－4解析 x<0，∴－x>0，∴(－2x)＋≥2＝4，即y＝2x＋≤－4(当且仅当－2x＝－，即x＝－1时等号成立)．6．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．答案1解析由a－3b＋6＝0可得a－3b＝－6，又 2a＋≥2＝2＝2＝(当且仅当a＝－3，b＝1时取等号)，∴2a＋的最小值为.核心考向突破考向一利用基本不等式求最值角度\s\up7()利用配凑法求最值例1(1)已知00，则函数y＝x＋－的最小值为________．答案0解析y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.触类旁通通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.即时训练1.已知x，y都是非负实数，且x＋y＝2，则的最小值为________．答案解析 x，y都是非负实数，且x＋y＝2，∴x＋2＋y＋4＝8，∴8≥2，即≥，当且仅当x＝2，y＝0时取等号，则≥＝.角度\s\up7()利用常数代换法求最值例2(1)(2019·绵阳诊断)若θ∈，则y＝＋的取值范围为()A．[6，＋∞)B．[10，＋∞)C．[12，＋∞)D．[16，＋∞)答案D解析 θ∈，∴sin2θ，cos2θ∈(0,1)，∴y＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即θ＝时等号成立．故选D.(2)(2017·山东高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．答案8解析 直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，∴＋＝1，∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．故2a＋b的最小值为8.2触类旁通常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：即时训练2.(2019·正定模拟)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．答案5解析由x＋3y＝5xy，可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5，当且仅当x＝1，y＝时取等号，故3x＋4y的最小值是5.角度\s\up7()利用消元法求最值例3(1)(2019·江西上饶联考)已知正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，则的最大值为()A．8B．2C．D．答案C解析因为a，b，c都是正数，且满足2a－b＋c＝0，所以b＝2a＋c，所以＝＝＝≤＝，当且仅当c＝2a>0时等号成立．故选C.(2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．答案3解析由x2＋2xy－3＝0，得y...
