第4讲基本不等式一、知识梳理1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．[点拨]应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)[点拨]在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．二、习题改编1．(必修5P99例1(2)改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82解析：选C.xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.2．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是．解析：设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．答案：25m2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.()(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.()(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．()(4)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、易错纠偏(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0；(2)忽视定值存在；(3)忽视等号成立的条件．1．若x<0，则x＋()A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.2．若x>1，则x＋的最小值为．解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．答案：53．设00，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.【答案】(1)(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．角度二通过常数代换法求最值已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为．【解析】＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．【答案】9【迁移探究1】(变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为．解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．答案：4【迁移探究2】(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为．解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，＝＝＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时取等号．答案：＋常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．角度三通过消元法求最值若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是()A.B.C.D．【解析】因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得0
