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第2讲一元二次不等式及其解法一、知识梳理1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为．(2)当a<0时，解集为．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|x>x2或x0)的解集{x|x10(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．(2)≥0(≤0)⇔2．记住两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔二、习题改编1．(必修5P80练习T1改编)不等式2x2－x－3>0的解集为．答案：2．(必修5P80A组T3改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏(1)解不等式时变形必须等价；(2)注意二次项的系数的符号；(3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况．1．不等式－x2－2x＋3≥0的解集为．解析：不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．答案：{x|－3≤x≤1}2．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为．解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为.答案：3．对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是．解析：当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，由解得－43的解集为．(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是．(3)解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．【解】(1)由题意或解得x>1.故填{x|x>1}．(2)由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.故填{x|x≥3或x≤2}．(3)因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.①当a>0时，－<，解集为；②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③当a<0时，－>，解集为.综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．1．不等式00)．解：因为a>0，原不等式等价于(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解(x－1)<0得11时，解集为.一元二次不等式恒成立问题(多维探究)角度一形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等...

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