高考数学第一轮复习 8.5 轨迹问题教案VIP免费

8.5轨迹问题●知识梳理本节主要内容是轨迹的概念及轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q与点P之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P的轨迹可以得到点Q的轨迹；（4）参数法.●点击双基1.动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是A.中心在原点的椭圆B.中心在（5，0）的椭圆C.中心在原点的双曲线D.中心在（5，0）的双曲线解析：直接法.答案：B2.（2005年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F1（－，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则该双曲线的方程是A.－=1B.－=1C.－y2=1D.x2－=1解析：设双曲线的方程为－=1.由题意||PF1|－|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2.又 |PF1|·|PF2|=2，∴a=2，b=1.故双曲线方程为－y2=1.答案：C3.已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是A.y2－＝1（y≤－1）B.y2－＝1C.y2－＝－1D.x2－＝1解析：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b2＝48，用心爱心专心1所以轨迹方程为y2－＝1（y≤－1）.答案：A4.F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________.解析：延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知DO=F2B=2，∴动点D的轨迹方程为x2+y2=4.答案：x2+y2=45.已知△ABC中，B（1，0）、C（5，0），点A在x轴上方移动，且tanB+tanC=3，则△ABC的重心G的轨迹方程为________________.解析：设A（x0，y0）， tanB+tanC=3，∴－=3，点A的轨迹方程为y0=－（x02－6x0+5）（x0≠1且x0≠5）.若G（x，y）为△ABC的重心，则由重心坐标公式：x=，y=，∴x0=3x－6，且y0=3y.代入A点轨迹方程得G的轨迹方程为y－1=－（x－3）2（x≠且x≠）.答案：y－1=－（x－3）2（x≠且x≠）●典例剖析【例1】在△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=－2，且△PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程.剖析：如上图，以直线MN为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则所求椭圆方程为+=1.显然a2、b2是未知数，但a2、b2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.解法一：如上图，过P作PQ⊥MN，垂足为Q，令|PQ|=m，于是可得|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m，|QN|=|PQ|cot∠PNQ=m.∴|MN|=|MQ|－|NQ|=2m－m=m.于是S△PMN=|MN|·|PQ|=·m·m=1.用心爱心专心2因而m=，|MQ|=2，|NQ|=，|MN|=.|MP|===，|NP|===.以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）.则2a=|MP|+|NP|=，2c=|MN|=，故所求椭圆方程为+=1.解法二：设M（－c，0）、N（c，0），P（x，y），y＞0，=，=2，y·c=1，解之，得x=，y=，c=.设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2，则b2·（）2+a2（）2=a2b2，a2－b2=，解之，得a2=，b2=3.（以下略）评述：解法一选择了与a较接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x、y、c.本题解法较多，但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.深化拓展若把△PMN的面积为1改为·=，求椭圆方程.提示：由tan∠PMN=，tan∠MNP=－2，易得sin∠MPN=，cos∠MPN=.用心爱心专心3则由·=，得||||=.易求得|PM|=，|PN|=.进而求得椭圆方程为+=1.【例2】（2004年福建，22）如下图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.剖析：欲求PQ中点M的轨迹方程，需知P、Q的坐标.思路一，P、Q是直线l与抛物线C的交点，故需求直线l的方程，再与抛物线C的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可...