第3讲二项式定理[考纲解读]1.会用计数原理证明二项式定理，并会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(重点)2.熟练掌握二项式的展开式、展开式的通项及二项式系数的相关性质．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的必考点.预测2020年将会考查：①求二项式的特定项或项的系数；②求二项式系数的最大项或二项式系数的和；③与其他知识进行综合考查.题型以客观题形式考查，难度不大，属中、低档题型.1．二项式定理2．二项式系数的性质13.常用结论(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.(3)C＋2C＋3C＋…＋nC＝n2n－1.(4)CC＋CC＋…＋CC＝C.(5)(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.1．概念辨析(1)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a＋b)2n中系数最大的项是第n项．()(3)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．()(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.()答案(1)√(2)×(3)√(4)×2．小题热身(1)8的展开式中常数项为()A.B.C.D．105答案B解析二项展开式的通项为2Tk＋1＝C()8－k·k＝kCx4－k，令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝4C＝.(2)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．CB．CC．CD．(－1)m－1C答案D解析(x－y)n的二项展开式中第m项的通项公式为Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为C·(－1)m－1.(3)若(x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0的值为()A．－1B．0C．1D．2答案A解析令x＝0得，(－1)5＝a0，即a0＝－1.(4)若n的展开式中所有二项式系数之和为128，则n＝________.答案7解析由题意，可知2n＝128，解得n＝7.题型二项展开式角度1求二项展开式中的特定项或系数1．(1)(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80(2)(2019·茂名模拟)已知a＝cosxdx，则6展开式中，常数项为________．答案(1)C(2)20解析(1)由题可得Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r.令10－3r＝4，则r＝2，所以C·2r＝C×22＝40，故选C.(2)因为a＝cosxdx＝sinx＝1，6展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)6－2r.令6－2r＝0，解得r＝3，代入得到常数项为20.角度2已知二项展开式某项的系数求参数2．(1)已知(2＋ax)(1－2x)5的展开式中，含x2项的系数为70，则实数a的值为()A．1B．－1C．2D．－2(2)记n的展开式中第m项的系数为bm.若b3＝2b4，则n＝________.答案(1)A(2)5解析(1)(1－2x)5展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－2x)r，所以(2＋ax)(1－2x)5的展开式中，含x2项的系数为2×C(－2)2＋aC(－2)＝70，解得a＝1.(2)Tr＋1＝C(2x)n－rr＝2n－rC·xn－2r. b3＝2b4，∴2n－2·C＝2·2n－3·C.∴C＝C，∴n＝5.角度3多项展开式3．(1)(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60(2)(2019·陕西黄陵中学模拟)5展开式中x2的系数为()3A．120B．80C．20D．45答案(1)C(2)A解析(1)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为CC＝30，故选C.(2)5＝5＝10.Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r.令5－r＝2解得r＝3.T4＝Cx2＝120x2，所以5展开式中x2的系数为120.1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项得所求．见举例说明1.2．求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项公式，综合考虑．3．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的四步骤1．(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35答案C解析因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.因为C＋C＝2C＝2×＝30，所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.2．若(1＋ax)7(a≠0)的展开式中x5与x6的...
