第2课时基本不等式的应用课标解读课标要求核心素养1.进一步熟练掌握基本不等式,能够利用基本不等式求最值.(重点)2.能够利用基本不等式解决实际问题.(难点)1.通过学习利用基本不等式求代数式的最值,提升学生的数学运算素养.2.在利用基本不等式解决实际问题的过程中,提升学生的数学建模素养.基本不等式与最大(小)值两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.(1)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当①x=y时,积xy有最大值②14S2.(2)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当③x=y时,和x+y有最小值④2❑√P.思考1:x+1x的最小值是2吗?提示不是.只有当x>0时,x+1x的最小值才是2.思考2:已知x,y为正数,且1x+4y=1,求x+y的最小值.下面是某位同学的解题过程:解:因为x>0,y>0,所以1=1x+4y≥2×2❑√xy=4❑√xy,所以❑√xy≥4,从而x+y≥2❑√xy≥2×4=8.故x+y的最小值为8.请判断这位同学的解法是否正确,并说明理由.提示这位同学的解法是错误的.理由如下:解题过程中连续两次使用基本不等式,但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当1x=4y=12,即x=2,y=8时,等号成立;第二个不等式当且仅当x=y时,等号成立,因此x+y的最小值不能等于8.正确解法: x>0,y>0,1x+4y=1,∴x+y=(x+y)(1x+4y)=1+yx+4xy+4=yx+4xy+5≥2·❑√yx·4xy+5=9,当且仅当{1x+4y=1,yx=4xy,即x=3,y=6时,等号成立.故x+y的最小值为9.探究一利用基本不等式求最值例1(1)已知m,n>0,且m+n=16,求mn的最大值;(2)已知x>3,求x+4x-3的最小值.解析(1) m,n>0,且m+n=16,∴由基本不等式可得mn≤(m+n2)2=(162)2=64,当且仅当m=n=8时,等号成立,∴mn的最大值为64.(2) x>3,∴x-3>0,4x-3>0,于是x+4x-3=x-3+4x-3+3≥2❑√(x-3)·4x-3+3=7,当且仅当x-3=4x-3,即x=5时,等号成立,故x+4x-3的最小值为7.思维突破1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则求解.(1)一正:符合基本不等式a+b2≥❑√ab成立的前提条件:a>0,b>0.(2)二定:不等式的一边转换为定值.(3)三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立.以上三点缺一不可.2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.1.(1)若x<0,求12x+3x的最大值;(2)若x>2,求1x-2+x的最小值;(3)已知02,所以x-2>0,1x-2+x=1x-2+x-2+2≥2❑√(x-2)·1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2,即x=3时等号成立,所以1x-2+x的最小值为4.(3)因为00,12x(1-2x)=14×2x(1-2x)≤14[2x+(1-2x)2]2=116,当且仅当2x=1-2x,即x=14时等号成立,所以12x(1-2x)的最大值为116.探究二利用基本不等式解决实际问题例2某汽车公司购买了4辆大客车,每辆200万元,用于长途客运,预计每辆车每年收入约100万元,每辆车第一年的各种费用约为16万元,且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式;(2)这4辆车运营多少年可使年平均运营利润最大?(:1+2+3+…+n=注12n(n+1),n∈N*)解析(1)依题意,每辆车运营x年的总收入为100x万元,总支出为200+16×(1+2+…+x)=200+12x(x+1)·16万元,∴y=4[100x-200-12x(x+1)·16]=16(-2x2+23x-50).(2)年平均运营利润为yx=16(23-2x-50x)=16×[23-2(x+25x)]. x∈N*,∴x+25x≥2❑√x·25x=10,当且仅当x=5时,等号成立,此时yx≤16×(23-20)=48.∴运营5年可使年平均运营利润最大,最大运营利润为48万元.思维突破在应用基本不等式解决实际问题时,应注意的思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为因变量;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)根据实际背景写出答案.2.2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射,它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品,甲工...
